Как записывают числа в нашей десятичной системе счисления

Для записи любого числа мы теперь пользуемся десятью знаками-цифрами, из которых девять называют значащими, а десятую— нулем.

Вспомним, как мы читаем число, записанное цифрами. Чтобы прочитать, например, число 3604, мы смотрим, на каком месте от конца стоит первая цифра, затем по порядку — вторая, третья и т. д. После этого в уме производим сложение. В записанном числе впереди стоит цифра 3. Она занимает четвертое от конца место — место тысяч. Следовательно, в числе 3 тысячи. Вторая цифра—6 занимает место сотен, т. е. в числе 6 сотен. Десятки обозначены нулем, — значит, в этом числе десятков нет. Наконец, четвертая по порядку цифра указывает число единиц. В уме складываем: 3 тыс. +6 сот. + 4 ед., а всего три тысячи шестьсот четыре. Итак, все число мы представили в виде отдельных ступенек — тысячи, сотни, десятки, единицы, которые затем сложили. В математике такие ступеньки называют разрядами. Первый разряд — единицы. Десять единиц составляют единицу второго разряда — разряда десятков. Десять десятков образуют единицу следующего разряда — разряда тысяч. Дальше идут разряды десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов и т. д.

В основе нашей системы счета лежит десяток, поэтому ее называют десятичной или десятеричной. Кроме того, значение цифры в записанном числе зависит от места, которое она занимает: единица на втором месте от правого края — это 10, а та же единица на третьем месте — уже 100. Вот почему эту систему называют поместной или позиционной десятичной системой. Отсутствие единиц какого-либо разряда в современной системе указывается нулем. При чтении числа мы не называем нуль, но учитываем его.

Поместная, или позиционная, система записи чисел впервые изобретена в Древнем Вавилоне. В Индии, зная позиционную систему, применили ее к десятичной. Возникла десятичная позиционная система, которая оказалась практически более удобной. Так зародилась современная десятичная позиционная система счисления.

Первое известное нам применение этой системы относится к 595 г. До наших дней сохранилась древняя плита, на которой число 346 записано в десятичной позиционной системе. Однако индийцы пользовались этой системой записи чисел значительно раньше, хотя более ранних примеров этой записи до нас не дошло.

Десятичная позиционная система счисления так проста и вместе с тем так мудра, что до сего времени ее считают величайшим изобретением в мире.

Бронзовая статуя Шивы в иконостасе Винадхары (покровителя наук и искусств), XI в. В индийской числовой символике на санскрите слово «рудрасья» (пятиликий Шива) означает число 5.

Пятеричная и десятеричная системы счисления. Считать можно по-разному. Например, сосчитал до пяти — загни палец правой руки. Сосчитал еще пять предметов — загни второй палец той же руки и т. д. Когда все пальцы правой руки загнуты, то загибают один палец на левой руке, а пальцы правой руки разгибают. Дальше счет продолжают снова, загибая пальцы своей правой руки или другого человека.

Пять загнутых пальцев правой руки означают 5 * 5 = 25, три загнутых пальца левой руки выражают число 25 * 3 = 75, пять пальцев той же руки означают число 25 * 5 = 125.

Такой способ счета называют пятеричным, так как в его основе лежит число пять. Пятеричной системой счета пользовались папуасы с острова Новая Гвинея. Об этом написал русский этнограф и путешественник Н. Н. Миклухо-Маклай (1846—1888).

Современная десятеричная, или десятичная, система счета сложилась несколько тысячелетий назад одновременно у многих народов. В основе этой системы оказалась десятка благодаря тому, что у человека на руках 10 пальцев, которыми при счете он постоянно пользовался. Однако некоторые народы в древности пользовались смешанной пятерично-десятеричной системой счисления. Примером, подтверждающим это, служит римская нумерация. В римской нумерации имеются особые знаки (цифры) для обозначения пяти — V, десяти — X, пятидесяти — L, ста — С, пятисот — D.

 

Открытие нуля

На первых этапах развития математики люди не ощущали надобности введения нуля. Для счета и действий с небольшими числами он не требовался. Самые древние числа шумеров, которые записывали в шестидесятеричной системе клинообразными знаками, нуля не имели. Например, число 83 они записывали знаками

Изменив лишь промежуток между первым клином и десяткой, это число читали как 3623, так как первый клин перед пустым местом означал 60 * 60, т. е. 3600. Такая неопределенность в записи чисел, особенно больших, вносила путаницу в расчеты. Это проявилось прежде всего при астрономических вычислениях, которыми вавилоняне успешно пользовались, удовлетворяя потребностям календаря и мореплавания.

В клинописных записях вавилонян (приблизительно V в. до н. э.) обнаружены на месте пустот знаки такого вида

Такие знаки стали писать, чтобы указать, что в этом числе пропущен один разряд. Учитывая значение указанного символа, число

нужно читать как 60*60 + 10 +10 + 1+1+1, т. е. три тысячи шестьсот двадцать три. Указанный знак у вавилонян выполнял роль нуля, но они не додумались ставить его при необходимости в конце числа. Потребовалось еще около 10 веков, чтобы окончательно решить, где и когда нужно применять нуль и означает ли он число или только цифру.

В индийской математике первоначально нуль тоже отсутствовал.

Продолжительное время и в Индии пользовались десятичной системой, но она не была позиционной. Видимо, после знакомства с вавилонской системой счисления индийские математики стали применять позиционную десятичную систему счисления и запись чисел посредством девяти значащих цифр. После распространения десятичной позиционной системы математики Индии, называя число, например, 3971, говорили: три, девять, семь, один.

Перестановка слов в названии числа не допускалась, так как тогда это было бы иное число. Такой способ счета дал повод неизвестному нам гениальному математику при записи чисел не отмечать каждый раз словом или знаком разряд числа, но располагать разряды числа в строго определенном порядке: на первом месте— единицы, на втором—десятки и т. д., т. е. поступать так, как это делаем теперь мы. В случае отсутствия какого-либо разряда индийцы ставили точку. Так, число 5 * 1 означало 501. Читая его, произносили: пять, сунья, один. Сунья в переводе означало «пусто». В V—VI вв. вместо точки стали писать кружок, который со временем преобразовался в нуль. Индийцы и его называли сунья.

Самую древнюю китайскую математическую книгу относят к X в. до н. э. В то время китайцы пользовались пятеричной системой счисления, но затем ее место заняла десятичная система. Их девять цифр обозначались в виде палочек: I—1, II—2, III—3, IIII —4, IIIII —5, Т —6, TT — 7, TTT — 8, TTTT — 9. Располагать палочки можно было и по-другому. Например, число 6729 можно было записать так:

К применению нуля китайцы пришли значительно позже.

Математики Древней Греции долгое время пользовались буквенной нумерацией и нуля не применяли.

Арабы позаимствовали в Индии цифры, систему счисления и записи чисел. Слово нуль они перевели на свой язык и вместо сунья говорили «сифр». В X—XII вв. индийская система счисления через арабов проникла в Европу, слово сифр не перевели, а немного видоизменили сначала в слово шифр, а позже в слово цифра.

Самый древний документ в Европе, в котором для нуля имеется свой знак (0), относится к IX в. В одной из книг, написанной на латинском языке в XIII в. (тогда все научные работы писали по-латыни), нуль назван «кружок, или цифра, или знак ничего». С тех пор за ним утвердилось название «фигура нуль», что означало «никакой знак». Словом цифра стали называть знаки, обозначающие число единиц в любом разряде, в том числе цифрой назвали и единицу, а позже и сам нуль.

В первом русском учебнике «Арифметика», напечатанном в 1689 г., нуль назван цифрой или ничем. Спустя несколько лет и в России знак 0 стали называть нулем, а знаки чисел 1, 2, 3, 4 ... 9 называли цифрами.

Однако и на этом открытие нуля не закончилось, хотя он приобрел свой вид, получил название, обрел свое место. Но не было решено — нуль цифра или число; если число, то какое: четное или нечетное?

В результате длительных обсуждений математики пришли к заключению: нуль — это число, обозначают его цифрой 0, к натуральному ряду он не принадлежит. С нулем можно производить все действия, за исключением деления на нуль, но сам нуль можно делить на любое число, а также и на два, поэтому нуль отнесли к четным числам. В ряду целых чисел нуль поместился на границе между отрицательными и положительными числами.

 

 






Дата добавления: 2020-05-06; просмотров: 48;


Поделитесь с друзьями:

Вы узнали что-то новое, можете расказать об этом друзьям через соц. сети.

Поиск по сайту:

Введите нужный запрос и Знаток покажет, что у него есть.
Znatock.org - Знаток.Орг - 2017-2020 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.006 сек.