Задачи прошлого, примеры решения задач Л. Ф. Магницкого

В старых учебниках арифметики до XVIII в. описывалось около тридцати различных правил решения задач. При этом обоснования выбора способа их решения не давалось. Ученик должен был заучить правило и строго его придерживаться при выполнении заданий. Вот некоторые правила: фальшивое, тройное, слепое, или девичье, аварийное и др. Запомнить их все и научиться определять, какое правило к какой задаче применимо, было очень трудно. С тех пор, по-видимому, и сложилось у некоторых людей мнение об арифметике как науке сложной и скучной.

Один из наиболее распространенных видов задач, сохранившийся и в современных учебниках, — это задачи на тройное правило, решение которых теперь не представляет большого труда. Вот пример такой задачи: «20 рабочих могут выполнить работу в 30 дней. Сколько рабочих могут сделать ту же работу в 5 дней?».

При решении этой задачи рассуждаем так: чтобы выполнить работу за 5 дней, рабочих потребуется больше во столько раз, во сколько 30 больше 5, т. е. 30 : 5 = 6. Следовательно, рабочих надо больше в 6 раз, т. е. 20 • 6 = 120 (человек).

Раньше подобные задачи решали иначе. Условие задачи записывали в одну строку, располагая данные в определенном порядке: 5 - 20 - 30, а затем действовали по правилу: перемножь второе и третье и раздели на первое — 20*30 =600; 600:5 = 120. Таким образом, решение сводилось к чисто механическим действиям, но, стоило ошибиться в порядке записи условия, решение оказывалось неверным. Сообразить, в каком порядке записывать числа в строку, должен был сам ученик, и это было наиболее трудным моментом в решении задачи.

Тройное правило было известно уже в Древней Индии. В Западную Европу оно пришло через Среднюю Азию благодаря работам аль-Хорезми. Когда ремесла и торговля стали быстро развиваться (XVI в.), тройное правило получило большую известность. Его стали считать наиболее полезным в жизни и называли золотым правилом или ключом купцов.

Приведем задачу другого характера из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого: «Един человек (муж) выпьет кадь (бочку) пития (кваса) в 14 дней, а со женой выпьет тое же кадь в 10 дней, и ведательно есть (т. е. требуется узнать), в колико дней жена его особно выпьет тое же кадь». В наше время такие задачи решают, составляя уравнение или используя дроби, но можно их решать в целых числах.

Будем рассуждать так: если двое выпьют кадь за 10 дней, то две кади они выпьют за 20 дней, а 14 кадей за 10 • 14 = 140 (дней). Но один человек (муж) за 140 дней выпьет только 140 :14 = 10 (кадей). Значит, его жена выпьет за 140 дней 14 - 10 = 4 (кади). А квас из одной кади она будет пить 140 : 4 = 35 дней.

У Магницкого много задач, которые интересны и сейчас. Например: «Найти число, которое при делении на два дает в остатке 1, при делении на три дает в остатке 2, при делении на четыре дает в остатке 3, при делении на пять дает в остатке 4».

Решение. Обратите внимание, что если бы это число было на единицу больше, то на все указанные числа оно разделилось бы без остатка. Поэтому если искомое число будет х, то число х + 1 разделится без остатка на 2, на 3, на 4 и на 5, т. е. оно разделится на произведение этих чисел — на 3 • 4 • 5 = 60 (в этом произведении нет 2, так как 2 входит множителем в 4). Таких чисел, которые делятся на 2, 3, 4, 5, много, а наименьшее из них — это 60. Следовательно, х + 1 = 60, а х = 59. Проверьте это по условию задачи.

Вот еще одна задача Магницкого: «В некоей единой мельнице было три жерновы, и едины жерновы в нощеденствии (сутки) могут смолоти 60 четвертей, а другие в толикое же время могут смолоти 54 четверти, третьи же в толикое же время могут смолоти 48 четвертей, и некий человек даде жита (зерна) 81 четверть, желая в скорости (скорее) оно смолоти и посыпа (засыпали) на все три жерновы, и ведательно есть (надо узнать), в колико часов оно жито может смолоться и колико на всякие жерновы достоить мельнику насыпати».

На наш взгляд, математика может стать для любого человека самой увлекательной из наук, если постараться понять ее сущность, значение в повседневной жизни, поинтересоваться путями ее развития.

 

Единичные дроби

Дроби появились в то время, когда человек стал измерять различные величины — длину, массу, площади и пр.

При этом в определенных случаях недостаточно использовать единицу меры целое число раз и приходится учитывать доли или части единицы.

Первая дробь, которую ввели раньше других, — это половина. Современные дети, еще не умея считать, знают, что такое половина яблока, половина конфеты, и при необходимости сообразят, как разделить пополам. Возможно, похожие ситуации помогли нашим далеким предкам понять, что такое половина.

За половиной последовало знакомство с половиной половины, или

а затем

Это так называемые единичные дроби — числитель их всегда выражен единицей.

Древние египтяне умели делать вычисления с дробями. Однако эти расчеты они сводили к действиям с единичными дробями, за исключением дробей

Они пользовались единичными дробями даже тогда, когда обращались к дробям вида

Такие дроби они представляли как сумму нескольких единичных дробей:

а записывали эту сумму без знаков сложения:

Проверим, верно ли египтяне выразили

Значит,

Таким образом египтяне правильно находили сумму единичных дробей, хотя их запись необычна для нас и довольно громоздка.

В переводе на единичные дроби будут выражаться в египетской записи: . Следует заметить, что для практических целей применять единичные дроби иногда даже удобнее. Так, если требуется разделить три яблока между четырьмя мальчиками поровну, то можно применить способ, которым пользовались египтяне: разрезать 1 яблоко на 4 части, а 2 яблока — на половинки. В результате каждый мальчик получит и яблока. А мы бы теперь,
наверное, разрезали каждое яблоко на 4 части и роздали каждому мальчику по 3 четвертинки.

Египтяне изображали дроби вот такими знаками:

При выполнении действий египтяне пользовались специально составленными таблицами.

В Древнем Вавилоне пользовались дробями но затем перешли к вычислению только с шестидесятеричными дробями, т. е. с дробями, у которых знаменатель 60:60*60, 60*60*60. Такие дроби для вавилонян были удобны, так как их система счисления была шестидесятеричная.

Только спустя тысячелетия в Греции, а затем и в Индии стали пользоваться дробями, которые мы теперь называем обыкновенными. Для их записи древние греки применяли порядок, обратный нашему. Дробь — они записывали в перевернутом виде. Знаменатель 5 они писали вверху, а числитель 3 — внизу. В V в. до н. э. греки умели выполнять с дробями сложение, вычитание, умножение и деление.

Ученые Древней Индии стали применять дроби довольно рано. Первоначально они пользовались только единичными дробями, но уже в записях IV в. до н. э. у них

встречаются дроби - и им подобные.

В I в. нашего летосчисления в Индии стали записывать дроби так же, как это делают теперь, но без дробной черты. Они писали вместо - вместо . Уже в то время индийцы знали все правила действий с обыкновенными дробями. Им мы обязаны развитию идеи обыкновенных дробей.

Первым, кто применил ныне принятую запись дробей с разделительной дробной чертой, стал итальянский математик Фибоначчи. Однако дробная черта стала общеупотребительной лишь в XVI в. Потребовалось свыше 200 лет, чтобы принять современную запись. У Фибоначчи запись с дробной чертой встречается в «Книге абака», появившейся в 1202 г.

В Древней Руси дроби называли долями, а затем ломаными числами. Отдельные дроби называли весьма своеобразно: половина, или полтина, — четь, — полчети, —полполчети, треть, —полтрети, — полполтрети, —седмина, — пятина, —десятина. Еще в XVII в.

дроби записывали при помощи букв славянского алфавита и только в XVIII в. перешли на современные цифры.

Интересно, что в России первое упоминание о переместительном (коммутативном) законе умножения встречается в рукописи XVII в. в связи с умножением дробей. В ней сказано: «Веда и доли из доли умножение как умножай придет .Також тож ». На этом примере видно, что от перемены мест множителей произведение не меняется.

 

 






Дата добавления: 2020-05-06; просмотров: 48;


Поделитесь с друзьями:

Вы узнали что-то новое, можете расказать об этом друзьям через соц. сети.

Поиск по сайту:

Введите нужный запрос и Знаток покажет, что у него есть.
Znatock.org - Знаток.Орг - 2017-2020 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.007 сек.