Свойства вынужденных колебаний, если частота возмущающей силы не равна собственной частоте

 

Вынужденные колебания это те, которые происходят с частотой возмущающей силы, то есть с частотой . Согласно уравнению (15.6/), имеем закон вынужденных колебаний

Свойства вынужденных колебаний в идеальной среде:

1) движение гармоническое периодическое с частотой возмущающей силы ;

2) амплитуда колебаний зависит от следующих параметров:

– собственных параметров системы с и а (потому что );

– от параметров возмущающей силы: Н,

Исследуем формулу амплитуды более детально, а именно, вынесем из знаменателя формулы (15.7) . Имеем

(15.10)

где коэффициент расстройки, который равен отношению частоты возмущающей силы к собственной частоте.

Введем понятие коэффициента динамичности Тогда модуль амплитуды вынужденных колебаний равняется

(15.10/)

Величину называют статической амплитудой которая имеет место в случае, если возмущающая сила постоянная величина, равная Н. Тогда коэффициент динамичности равняется отношению амплитуды вынужденных колебаний к амплитуде статической.

Рисунок 15.3 Построим график зависимости коэффициента динамичности от коэффициента расстройки (рис. 15.3). Анализируя график, имеем: – если т. `е. , стремится к бесконечности; – если амплитуды вынужденных колебаний – малые величины, то есть возмущающие силы с большими частотами безопасны.

3) рассмотрим сдвиг фазы вынужденных колебаний по отношению к возмущающей силе. Для этого сравним формулу возмущающей силы (15.1) и закон вынужденных колебаний, учитывая (15.10):

  а) б) Рисунок 15.4 Если максимуму силы отвечает максимум координаты, то есть сила и координата находятся в одной фазе (рис. 15.4). Если – координата с силой в противофазе, сдвиг фазы равен На рис. 15.4б: сплошная линия –возмущающая сила, пунктирная – координата, Если (случай резонанса), имеем сдвиг фаз что отображено на рис. 15.4а.

Мы рассмотрели закон и свойства движения для случая, когда то есть частота возмущающей силы и частота собственных колебаний не совпадают.

.

 

Случай резонанса



 

Рассмотрим случай, когда частоты возмущающей силы и собственных колебаний совпадают, В этом случае частное решение дифференциального уравнения движения (15.4) ищут в другом виде, а именно

(15.12)

Так как (15.12) – решение уравнения (15.4), подставим его в это дифференциальное уравнение. Для этого определим производные: Подставим координату (15.12) и производную от неё в уравнение (15.4). Имеем то есть Тогда, вместо (15.12), получим закон вынужденных колебаний в случае резонанса

(15.13)

Общее решение дифференциального уравнения (15.4), согласно (15.5), состоит из трех слагаемых

(15.14)

Конечно, последнее слагаемое растет со временем, поэтому имеем косинусоиду с переменными растущими амплитудами, (рис. 15.5). Первые два слагаемых в формуле (15.14) с частотой можно не учитывать для моментов времени, намного больших нуля.

 

Рисунок 15.5

Свойства движения.

1. При резонансе колебания происходят с нарастающей по закону арифметической прогрессии амплитудой, то есть

(15.15)

где – период вынужденных колебаний.

2. Чтобы выяснить, как отличаются фазы возмущающей силы и закона вынужденных колебаний, сравним формулы (15.1) и (15.13):

  Рисунок 15.6 Вывод: Фазы отличаются на т. е. если сила достигает максимума, координата достигает минимума и наоборот. На рис. 15.6 сплошная линия – возмущающая сила, пунктирная линия – координата.  

 

 

Вопросы для самоконтроля

1. Получите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления.

2. Из скольких частей состоит общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний и что определяет каждая из этих частей?

3. С какой частотой и амплитудой осуществляются вынужденные колебания механической системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления?

4. Что характеризует коэффициент динамичности? Формула для его определения.

5. Как изменяется амплитуда вынужденных колебаний системы при резонансе без учета сил сопротивления? График движения.







Дата добавления: 2018-12-03; просмотров: 199;


Поделитесь с друзьями:

Вы узнали что-то новое, можете расказать об этом друзьям через соц. сети.

Поиск по сайту:

Введите нужный запрос и Знаток покажет, что у него есть.
Znatock.org - Знаток.Орг - 2017-2019 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.009 сек.