Обработка сигнала. Спектры

Можно было бы обоснованно утверждать, что все, что вставлено между исходным источником звука и слушателем, составляет обработку сигнала. Многие инженеры по звукозаписи и звукоусилению, например, выбирают микрофоны на основе того, как микрофон изменяет качество звука в конечном продукте. Некоторые микрофоны обеспечивают подъем в области от 2 кГц до 4 кГц и, как говорят, добавляют «присутствие, presence». Кардиоидные микрофоны при работе на близком расстоянии демонстрируют «эффект близости», который представляет собой усиление баса, которое может добавить тело к слабым или тонким голосам.

Однако для нашей цели обработка сигналов будет ограничиваться определенными свойствами цепи сигнала, которые существуют между микрофоном или микрофонами, а также громкоговорителем или громкоговорителями. Большая часть этой обработки является линейной и инвариантной по времени в том смысле, что она не зависит от амплитуды сигнала или времени появления сигнала. В некоторых случаях обработка является нелинейной, такой как шумовые вентили (noise gates), нисходящие расширители (expanders) и компрессоры (compressors), а также ограничители (limiters).

В этой цепочке сигналов также существуют усилители. Широкополосные линейные усилители, помимо предлагаемого усиления напряжения и/или усиления мощности, по существу являются доброкачественными и, не рассматриваются как сигнальные процессоры, как таковые.

Обработка линейного сигнала будет считаться любой фильтрацией, которая изменяет амплитуду и фазу сигнала как функцию частоты. В эту категорию входит выравнивание (эквализация) системы. Обработка линейного сигнала также будет включать в себя все проходные фильтры (all pass filters), которые изменяют только фазу в зависимости от частоты, оставляя амплитуду нетронутой. Все проходные фильтры также включают блоки задержки сигнала. Блоки задержки сигналов (signal delay units), задерживая появление сигнала, если смотреть на ось времени, выполняют это путем обеспечения фазового запаздывания, которое пропорционально частоте, оставляя амплитуду нетронутой.

Функции обработки сигналов часто распределяются между несколькими устройствами в общей цепочке сигналов. Например, микшеры часто содержат несколько фильтров с подъемом/вырезом (boost/cut) полосы пропускания или фильтр стеллажа (полка), которые назначаются на каждый входной канал. Кроме того, системы управления громкоговорителями обычно предлагают перекрестные (кроссоверные) сети громкоговорителей, а также задержку сигнала для отдельных элементов громкоговорителей.

Первоначально обработка сигналов осуществлялась исключительно за счет использования аналоговых схем. В настоящее время, как аналоговые, так и цифровые схемы все больше используются с цифровыми схемами, которые почти ежедневно вводятся в базис проведения сигнала. В этом отношении аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи являются необходимыми дополнениями к выделенным цифровым процессорам сигналов. Эти устройства будут называться АЦП (ADC), ЦАП (DAC) и ЦСП (DSP) соответственно. АЦП использует процесс, известный как выборка сигнала, в то время как ЦАП использует процесс, называемый восстановлением сигнала. Процессор DSP может быть запрограммирован на выполнение цифровой фильтрации, задержки сигнала, выравнивания (эквализацию) и других функций обработки сигналов. Чтобы понять операции, связанные с обработкой сигналов, необходимо знать, как сигналы описываются в частотной области. Кроме того, взаимодействие между различными компонентами в цепочке обработки сигналов лучше всего понимается в терминах предмета, известного как "теория системы". Эти две области будут кратко рассмотрены, прежде чем рассматривать детали самой обработки сигнала.

Спектры. Жан Батист Джозеф Фурье (1768-1830) был французским математиком и физиком-теоретиком. Работая над проблемой теплопроводности в твердых телах, Фурье сделал математическое открытие, которое имело значение далеко за пределами его первоначальной проблемы. Первоначальное открытие Фурье привело к разработке современных математических инструментов, которые позволяют описать частотную область событий, происходящих во временной области.

Тригонометрические ряды Фурье. В оригинальной задаче Фурье источник тепла был размещен в некоторой точке тонкого диска, и целью было описать температуру как функцию положения на круговой периферии диска. Геометрия диска предполагала полярные координаты как координаты выбора для описания положения как внутри диска, так и на периферии. Описывающая функция распределения температуры на периферии диска для этого выбора координат периодична по полярному углу с периодом 2π. Это верно, потому что, начиная с любого начального угла θ, увеличение угла на 2π приводит обратно в ту же точку, имея, разумеется, ту же температуру. Фурье обнаружил, что после того, как y будет равно температуре в данной точке на периферии,

В приведенном выше выражении n принимает значение каждого положительного целого числа. Коэффициент a0 является средним значением y в интервале от 0 до 2π.

Коэффициенты в сумме бесконечного ряда, представляющие y, задаются формулой:

и

Выражение для f(θ) теперь называется тригонометрическим рядом Фурье. В соответствии с работой Фурье вскоре было обнаружено, что тригонометрические ряды Фурье были членами гораздо большего набора математических функций, называемых ортогональными функциями, имеющими схожие свойства. Ортогональные свойства членов ряда Фурье суммируются в следующих фактических состояниях, где m и n - целые числа. Когда m и n - любые целые числа,

В случае, когда m и n - разные целые числа,

Наконец, для случая, когда m и n равные числа,

Теперь, когда существуют необходимые инструменты, вышесказанное можно сделать более значимым, выполнив анализ Фурье на некоторых общих периодических волновых формах, которые часто встречаются в аудио и электронике. Полезной формой сигнала, часто используемой при тестировании и оценке усилителя, является квадратная волна. Квадратная волна, рассматриваемая здесь, имеет амплитуду 1 V и период Т. Эта квадратная волна изображена на рис. 22-1.

Рисунок 22-1. Квадратная волна единичной амплитуды.

На рисунке 22-1 изображена независимая переменная θ вдоль горизонтальной оси. Независимую переменную можно легко преобразовать во времени, признав, что:

Целью на этом этапе является определение членов тригонометрического ряда Фурье, которые при объединении будут давать форму, изображенную на рис. 22-1. Первоначально должны быть сделаны два наблюдения относительно формы волны на рисунке. Первое наблюдение состоит в том, что среднее значение формы волны в течение любого периода или любого целого числа периодов равно нулю. Таким образом, любой набор терминов, используемых для описания формы волны, должен также иметь среднее значение нуля. Второе замечание состоит в том, что:

На словах это говорит о том, что алгебраический знак значения оси y или ордината формы волны меняет направление, когда один идет от положительной точки по оси х или по оси абсцисс формы волны к соответствующему отрицательному значению абсциссы. Математически такая функция называется нечетной функцией и может быть представлена ​​только набором нечетных функций. Четная функция была бы такой, для которой:

Эти наблюдения спасают от ненужного труда, потому что члены в рядах Фурье являются либо синусами, либо косинусами. Синус является нечетной функцией, а косинус - четной функцией. В этом случае для этой конкретной формы волны необходимо учитывать только синусные члены в рядах Фурье.

Пример квадратной волны имеет довольно простое математическое описание, а именно:

В этот момент можно установить общее выражение для коэффициентов синусных членов в рядах Фурье, описывающих примерную квадратную волну.

Один из них теперь расположен для записи рядов Фурье, описывающих заданную прямоугольную волну, т.е. коэффициентам могут быть назначены конкретные числа. Как упоминалось ранее, an = 0 для всех значений n. b0 = 0, так как подынтегральные выражения в общем выражении обращаются в нуль, поскольку sin(0) равно нулю. Для четных значений n, отличных от нуля:

где, n - четное целое число. Для нечетных значений n.

где, n - нечетное целое число.

Поэтому рассматриваемая квадратная волна единичной амплитуды представлена ​​бесконечной последовательностью:

Вспоминая, что θ = ω0t = 2πf0t, этот результат также можно выразить как:

Тогда спектр квадратной волны состоит из основной частоты, равной обратному периоду квадратной волны, а также уменьшению амплитудных нечетных гармоник основной частоты. Кроме того, поскольку фазовые углы как фундаментальной, так и гармоники равны нулю при t = 0, то все компоненты частоты находятся в фазе.

Поучительно исследовать, как описание Фурье квадратной волны влияет на выбор происхождения координат. На рисунке 22-2 показана единичная амплитуда квадратной волны, где начало координат сдвинуто вправо на π/2 радиан. Эта новая прямоугольная волна теперь является четной функцией.

Рисунок 22-2. Квадратная волна с единичной амплитудой, как четная функция.

Математически этот сдвиг сводится к изменению независимой переменной, так что 2πf0t заменяется на 2πf0t '+ π/2. После этой подстановки f(t) становится f(t'):

Это можно значительно упростить, используя общее тригонометрическое тождество с суммой двух углов.

Эта идентичность приводит к утверждениям:

Поэтому выражение для этого времени сдвинуло квадратную волну, которая теперь является четной функцией:

Важно заметить, что сдвиг во времени меняет только фазы частотных составляющих. Существующие частотные составляющие и их амплитуды не изменяются.

Существуют некоторые ограничения на типы математических функций, которые могут быть представлены рядами Фурье. Например, функция, представляемая в данном интервале, должна быть непрерывной и конечной или, если разрывная, то должна иметь конечное число конечных разрывов. Математическая квадратная волна, используемая в качестве первого примера, имеет разрывный скачок между +1 и -1 при θ = π, и другой разрывный скачок между -1 и +1 при θ = 2π. В таких точках сумма бесконечного ряда сходится к средней точке скачка. В этом случае средняя точка равна нулю. Любая физически генерируемая квадратная волна сделает этот переход в конечном коротком интервале и, следовательно, не будет демонстрировать прерывистое поведение. Ряд Фурье может представлять такую ​​физическую прямоугольную волну точно во всех точках интервала 0 ≤ θ ≤ 2π.

Прежде чем покинуть квадратную волну, выраженную как четную функцию, интерес представляет одно окончательное изменение. В этом изменении к волне добавляется константа 1, создающая форму волны, изображенную на рис. 22-3.

Квадратная волна, изображенная на рис. 22-3, имеет среднее значение единицы. Это следует из того факта, что она была построена путем добавления постоянного значения единица к функции, которая изначально имела среднее значение нуля. Формальный расчет осуществляется с помощью следующих шагов.

Рисунок 22-3. Квадратная волна, среднее значение которой равно единице.

При приравнивании θ с 2πf0t ряд Фурье, описывающий квадратную волну на рис. 22-3, становится:

Анализ полуволновой выпрямленной косинусоидальной формы единичной амплитуды приводит к результату:

Если вместо этого имеется полная волновая выпрямленная косинусная волна единичной амплитуды, то анализ Фурье дает:

Следует отметить, что среднее значение полного волнового сигнала вдвое выше, чем половина волны, как можно догадаться. Кроме того, низкой частотной составляющей в полный волновой сигнал второй гармоники, а не основной частоты. Таким образом, полный сигнал волны легче фильтруется, чем половина волны.

Два других часто встречающихся сигнала - это треугольная форма волны и пилообразная форма волны. График каждого из этих сигналов показан на рисунке 22-4.

Для треугольной формы сигнала единичной амплитуды:

Если для пилообразной единичной амплитуды то:

Рисунок 22-4. Треугольные и пилообразные волновые формы сигналов.

 






Дата добавления: 2022-05-07; просмотров: 13;


Поделитесь с друзьями:

Вы узнали что-то новое, можете расказать об этом друзьям через соц. сети.

Поиск по сайту:

Введите нужный запрос и Знаток покажет, что у него есть.
Znatock.org - 2022-2022 год. Для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь | Конфиденциальность
Генерация страницы за: 0.029 сек.