Экспоненциальные ряды Фурье

При определении ω0 = 2π(1/T) = 2πf0, общий тригонометрический ряд Фурье можно записать в виде:

Если написать теорему Эйлера в виде ejnω0t = cos (nω0t) + j sin (nω0t) и решить индивидуально для синусоидальных и косинусных членов, получаем:

Когда они подставляются в общее выражение для тригонометрического ряда, результат может быть записан как:

Это компактное выражение называется экспоненциальным рядом Фурье. Коэффициенты cn связаны с прежними коэффициентами следующим образом.

Следует отметить, что коэффициенты для экспоненциальных рядов, за исключением c0, являются сложными и что они встречаются в комплексно сопряженных парах так, что:

Коэффициенты для экспоненциального ряда можно вычислить непосредственно, используя интегральное выражение:

Экспоненциальный ряд Фурье приводится здесь по двум причинам. Во-первых, общее выражение для экспоненциальных рядов является более компактным, чем для тригонометрических рядов и, во-вторых, экспоненциальный ряд для периодических сигналов обеспечивает трамплин для интегрального преобразования Фурье. Интегральное преобразование Фурье может быть использовано для вычисления спектров более общих зависимых от времени функций, независимо от того, является ли функция времени периодической или нет.

Экспоненциальный ряд Фурье будет теперь использован для определения спектра, связанного с рекуррентным поведением импульсов. Эта периодическая форма волны изображена на рис. 22-5.

Рисунок 22-5. Повторная (рекуррентная) последовательность импульсов.

Рекуррентная последовательность импульсов на рис. 22-5 имеет амплитуду 1, основную частоту или частоту повторения импульсов f0, соответствующую периоду T, а отношение периода повторения импульсов к длительности каждого импульса обозначается константой k. Фигура была построена в предположении, что k равно 4. Однако константа k может принимать любое значение, большее единицы. Если k разрешено принимать большие и большие значения, то ширина отдельного импульса становится уже и уже, а интервал между импульсами становится относительно большим и большим.

Анализ этого рекуррентного импульса состоит в вычислении коэффициентов экспоненциального ряда Фурье. При выполнении этого анализа интервал 2π, по которому выполняются интегрирования, может быть взят где угодно на оси θ. Для удобства расчета этот интервал выбирается от -π до + π. Функция, однако, равна нулю, кроме как между -π / k и + π / k, в которой диапазон имеет значение единицы. Поэтому, когда запоминается, что ω0t = θ, то:

если n = 0,

если N 0.

Коэффициенты cn представляют собой амплитуду и фазу составляющих компоненты частоты, которые вносят вклад в рекуррентную последовательность импульсов. Рекуррентная последовательность импульсов восстанавливается или синтезируется путем добавления этих частотных компонентов с использованием соответствующих амплитуд и фаз, определенных в анализе. Тогда:

Тот факт, что n принимает как положительные, так и отрицательные значения, указывает на математическую необходимость рассмотрения как положительной, так и отрицательной частот, т. е. ± nω0. На рис. 22-6 приведен график зависимости cn от nω0 в случае, когда k имеет значение два. Это назначение заставляет рекуррентную последовательность импульсов быть квадратной волной со средним значением в половину. Такой график называется линейным спектром Фурье, поскольку частоты дискретны.

В линейном спектре рекуррентного импульса прямоугольной волны, показанного на рис. 22-6, показано среднее значение или постоянный член на нулевой частоте, основные компоненты при ± ω0 и характерные нечетные гармоники с переменными знаками, и уменьшающиеся амплитуды в соответствии с гармоническим порядком. Ничто не отображается за пятой гармоникой из-за уменьшения масштаба, хотя в реальном спектре все нечетные гармоники присутствуют.

Рисунок 22-6. Линейный спектр Фурье рекуррентного импульса квадратной волны.

Интеграл Фурье. Большинство сигналов, представляющих интерес для акустики и электроники, являются динамическими сигналами, которые не повторяются снова и снова. Другими словами, такие сигналы не являются периодическими, но по-прежнему необходимо, по сути, знать спектральное содержание таких сигналов. Один из способов приблизиться к анализу сигналов, которые не повторяются нигде на временной оси, - это считать, что период таких сигналов бесконечен. С этой целью, выражения для анализа и синтеза с использованием экспоненциального ряда Фурье преобразуются в форму, где время принимается за независимую переменную, и период появляется явно. Эти новые выражения появляются как уравнение 22-47 и уравнение 22-48.

где,

На первый взгляд мы можем заключить, что если T разрешено приближаться к бесконечности в уравнении (2.24), то cn приближается к нулю и все теряется. Выход возможен, если мы также наблюдаем в уравнении 22-50, что при приближении T к бесконечности ω0 должно сокращаться и приближаться к нулю. В интегральном выражении уравнения 22-47, если мы теперь заменим T из уравнения 22-50, а затем разделим обе части выражения на ω0/2π, получим:

Пока f(t) достаточно хорошо ведет себя так, что интеграл не расходится, то величина Fn будет содержать искомую информацию. Соответствующее синтезированное выражение теперь можно записать в виде:

На этом этапе можно определить, что происходит, когда период растет бесконечно большим, так что в пределе он становится бесконечным. По мере того как T растет все больше и больше, ω0 растет все меньше и меньше и становится бесконечно малым, называемым dω.

При уменьшении ω0 гармонические частоты, обозначенные ωn, становятся настолько многочисленными и плотно упакованными, что они становятся континуумом, представленным непрерывной переменной ω.

Кроме того, вместо дискретного набора значений Fn для каждой гармоники, теперь имеется непрерывная функция частоты, обозначаемая F(ω). Наконец, в пределе бесконечного T бесконечная сумма дискретных членов уравнения 22-52 становится непрерывной суммой или интегралом. Наконец, уравнения 22-51 и 22-52:

и

Уравнения 22-53 и 22-54 представляют собой преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье, соответственно, применимые к временным функциям независимо от того, являются ли они периодическими или нет.

Не все мыслимые f(t) имеют преобразование Фурье, т. е. интеграл, указанный в уравнении 22-53 не может быть рассчитан. К счастью, для большинства сигналов, встречающихся в акустике и связи, это не так, и можно вычислить F(ω). Одним из многих полезных свойств, обладающих преобразованием Фурье, является уникальность. Это означает, что если мы можем вычислить преобразование Фурье заданного f(t), то существует одно и только одно F(ω), связанное с этим f(t). Фактически вычисляемая функция F(ω) воплощает всю информацию, содержащуюся в f(t), выраженную другим способом. В случае f(t), независимая переменная - это время, которое является переменной, наиболее близкой к природе человеческого опыта. В случае F(ω) независимая переменная является угловой частотой, а область описания называется частотой или спектральной областью. Время и частота составляют два разных дескриптора одних и тех же физических явлений. Они полезны для более глубокого понимания природы физических систем. Фактически ключи к пониманию природы атомной структуры были извлечены почти исключительно путем изучения спектров излучения, испускаемого возбужденными атомами.

 






Дата добавления: 2022-05-07; просмотров: 19;


Поделитесь с друзьями:

Вы узнали что-то новое, можете расказать об этом друзьям через соц. сети.

Поиск по сайту:

Введите нужный запрос и Знаток покажет, что у него есть.
Znatock.org - 2022-2022 год. Для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь | Конфиденциальность
Генерация страницы за: 0.019 сек.