Общие свойства преобразований Фурье

Существуют некоторые свойства, общие для всех преобразований Фурье, знание которых может сэкономить много труда в вычислениях преобразования. Физические сигналы, как правило, являются реальными функциями времени, но преобразования Фурье таких сигналов могут быть реальными или комплексными в зависимости от математической структуры временного сигнала. Например, если временной сигнал является реальным и равномерной математической функцией t, преобразование Фурье также является вещественным и равномерной математической функцией ω. Если функция f(t) вещественная и нечетная, то F(ω) является мнимой и нечетной. Если функция f(t) вещественная и ни четная, ни нечетная, то F(ω) является комплексной.

Второе полезное свойство - это сдвиг во времени. Предположим, что нам желательно сдвинуть положение данной временной функции f(t) на временной оси в течение фиксированного периода времени t0, так что f(t) заменяется на f(t - t0), указывающее, что функция времени смещена вправо на время, равное t0, тогда как форма функции остается неизменной. Тогда, если F(ω) является преобразованием f(t), то преобразование f(t - t0) является e(-jω)t0F(ω). Следствием этого свойства является сдвиг частоты. Предположим, что преобразование f(t) снова F(ω). Если сдвинуть преобразование вправо вдоль оси частот на фиксированную величину ω0, то F(ω) станет F(ω - ω0), а функция времени, из которой это преобразование, становится e jω0tf(t). Сдвиг влево будет выполнен путем изменения алгебраического знака фиксированной величины в обоих случаях.

Кроме того, процесс принятия преобразования Фурье является линейной операцией, которая позволяет применить принцип суперпозиции. Предположим, что существуют две разные функции времени, обозначенные как f(t) и g(t), которые имеют преобразования, обозначенные как F(ω) и G(ω) соответственно. Из f(t) и g(t) образуют новую функцию времени, заданную af(t) + bg(t), где a и b – «постоянные». В результате свойства линейности преобразование этой новой функции времени будет aF(ω) + bG(ω).

Другое полезное свойство связано с математическим процессом, известным как свертка. Этот процесс немного сложнее описать, а также фактически выполнить. Процесс свертки может быть выполнен как в частотной области, так и во временной области. Чтобы получить представление о характере процесса, будет сделан пример из области измерения спектра. Предположим, что требуется определить форму спектра, создаваемого некоторым стационарным источником сигнала. Определение формы спектра означает постоянную идентификацию значений частот, которые присутствуют, а также силу сигнала при каждом значении частоты. Источником стационарного сигнала будет тот, чей спектр не изменяется со временем, и, следовательно, измерение может проводиться неторопливо.

Одним из способов выполнения измерения было бы применить сигнал к настраиваемому полосовому фильтру и построить среднеквадратичное значение выходного сигнала фильтра, поскольку оно медленно настраивается по всему диапазону всех интересующих частот. Форма полученных результатов будет зависеть не только от фактической формы измеряемого спектра, но и от формы частотного отклика настраиваемого фильтра. Например, при каждой частоте настройки количество сигнала, передаваемого фильтром, очевидно, зависит от того, является ли кривая отклика фильтра узкой или широкой, то есть, является ли добротность фильтра Q большой или малой. Форма измеренной кривой будет иметь вид свертки фактического спектра с формой функции отклика фильтра.

Свертка может применяться как во временной области, так и в частотной области. Подробный расчет теперь будет представлен во временной области, где могут быть выбраны временные сигналы простых, хотя и разумных геометрических фигур, чтобы легко визуализировать то, что делается на каждом этапе процесса. Первоначально должна быть сделана математическая формулировка процесса свертки. Предположим, что имеется две функции времени, обозначенные как f(t) и g(t). Свертка f(t) с g(t) обозначается и определяется как:

В уравнении 22-55, τ - фиктивная переменная, имеющая размеры времени, которая интегрируется, производя результат, который является функцией только от t. Соответствующее утверждение в частотной области может отображаться как:

В уравнении 22-56 k - это фиктивная переменная, которая интегрируется в процесс свертки. На рисунке 22-7 изображена форма двух функций времени, которые должны быть свернуты в геометрической иллюстрации процесса свертки.

Рисунок 22-7. Функции, которые должны быть свернуты.

Первый шаг геометрического описания процесса свертки состоит в том, чтобы перевернуть фигуру, описывающую g(t) вокруг вертикальной оси. Эта фигура теперь описывает g(t - τ). Это отрицательный τ, который диктует разворот. Затем позиционируется фигура, описывающая g-функцию, последовательно для всех значений t. При каждом значении t вычисляется площадь, где перекрываются две фигуры. Эта область перекрытия является результатом интегрирования по фиктивной переменной τ в математическом определении свертки. Значения t, которые не создают перекрытие, могут быть проигнорированы. Это иллюстрируется для нескольких значений t на рис. 22-8.

Для t в диапазоне от 0 до 1 треугольник будет полностью находиться внутри прямоугольника, а область перекрытия останется с постоянным значением 0,5. Остальные этапы процесса показаны на рисунке 22-9.

Результатом вычисления свертки является новая функция времени, обозначаемая h(t). Математически,

Для каждого значения t функция h(t) в качестве значения имеет значение площади перекрытия двух функций, которые свертываются. Функция h (t) для данного примера изображена на рис. 22-10.

Рисунок 22-8. Первые шаги в процессе свертки.

Свойство преобразования Фурье, представляющее интерес свертки, состоит в том, что свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области. Смысл этого заключается в следующем. Пусть F(ω) - преобразование f(t) и G(ω) - преобразование g(t). В этом случае преобразование Фурье свертки f(t) с g(t) просто F(ω), умноженное на G(ω). Обратное также верно. Если бы мы свернули F(ω) с G(ω) в частотной области, а затем взяли обратное преобразование Фурье от результата, то полученный расчет был бы равен произведению f(t) с g(t) во временной области.

Существует важная теорема, связанная с преобразованием Фурье, которая еще раз иллюстрирует равенство между описаниями во временной области и частотной области. Это называется теоремой Парсеваля, хотя она была впервые высказана и использована лордом Рэлеем. Это называется энергетической теоремой, поскольку она включает в себя интеграл по времени квадрата свойства сигнала, такого как акустическое давление. Акустическая мощность пропорциональна квадрату акустического давления, а интеграл времени мощности приводит к выражению энергии сигнала. Формальное утверждение теоремы выражается формулой 22-58.

В уравнении 22-58 появляется квадрат абсолютной величины, а не просто квадрат, потому что, хотя функция f(t) вещественна для физических сигналов, а квадрат абсолютной величины и простой квадрат равны для этой функции. Функция F(ω) часто комплексная, и ее простой квадрат будет комплексным, тогда как квадрат ее абсолютной величины является реальным, и результат этого расчета всегда должен быть реальным. Часто гораздо проще выполнять интеграл справа, а не слева, и, следовательно, полезность теоремы для сигналов с конечной энергией. Член |F(ω)|2 в уравнении 22-58 называется спектральной функцией плотности, поскольку она представляет энергию на единицу угловой частоты.

Рисунок 22-9. Заключительные шаги в геометрическом вычислении свертки.

Еще одно существенное свойство описания временных и частотных областей данного сигнала становится очевидным, когда вы сравниваете длительность сигнала во временной области с частотным интервалом, занятым тем же сигналом, выраженным в частотной области. При изучении этой функции, пример будет сделан из исследования тонального пакета, который является значительным тестовым сигналом, используемым как в акустике, так и в электроакустике. Тональный всплеск формируется путем стробирования на непрерывно действующем синусоидальном генераторе с фиксированной частотой на временной интервал, равный целому числу периодов сигнала осциллятора. На рис. 22-11 отображается интервал одного периода: функция |f(t)|2 из уравнения 22-58, подходящий для тонального импульса 1 кГц. На рис. 22-12 показана функция спектральной плотности соответствующей частотной области для этого тонального всплеска.

Рисунок 22-10. Свертка f(t) с g(t).

Рисунок 22-11. Тональный всплеск 1 кГц за один период.

Из рисунков должно быть очевидным, что, хотя длительность импульса во временной области хорошо определена и ограничена интервалом в 1 мс, то же нельзя сказать о функции спектральной плотности. Функция спектральной плотности широко распространена в диапазоне частот. На самом деле пики положительной и отрицательной частоты спектральной плотности даже не происходят на частоте 1 кГц, а скорее при более низких значениях. Обратите внимание на позиции маркеров на ± 1 кГц. Контраст рисунка 22-12 с рисунком 22-13, который соответствует тональному всплеску не одного периода, а скорее десяти периодов, т. е. длительности во времени, большей в десять раз.

Теперь функция спектральной плотности намного лучше определена, и пики встречаются почти точно на ± 1 кГц, о чем свидетельствуют маркеры. В дополнение к тому, что они намного более узкие, пики теперь намного выше, так как теперь всплеск доставлял в десять раз больше энергии первого случая, а площадь под общей кривой также должна быть в десять раз больше. Такое поведение обусловлено еще одним общим свойством описаний сигналов во временной и частотной области. Это свойство иногда называют классическим принципом неопределенности.

Рисунок 22-12. Функция спектральной плотности для одного периода всплеска 1 кГц.

Математически это можно выразить так:

Вывод, который выражается в этом отношении, заключается в том, что если частотное содержание сигнала должно появляться с определенной точностью, то существование сигнала и наше наблюдение за ним должны длиться в течение длительного периода времени. Обратное также верно в том, что если сигнал существует только в течение короткого времени, то точное утверждение или измерение, относительно его частотного содержимого, не могут быть сделаны.

Рисунок 22-13. Функция спектральной плотности для десятипериодного всплеска на частоте 1 кГц.

 






Дата добавления: 2022-05-07; просмотров: 19;


Поделитесь с друзьями:

Вы узнали что-то новое, можете расказать об этом друзьям через соц. сети.

Поиск по сайту:

Введите нужный запрос и Знаток покажет, что у него есть.
Znatock.org - 2022-2022 год. Для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь | Конфиденциальность
Генерация страницы за: 0.021 сек.