Что такое единичный импульс

По иронии судьбы, часто в физике и математике прогресс в мышлении о вещах, которые действительно существуют в природе, может быть облегчен за счет размышлений о вещах, которые этого не делают. Примером может служить единичный импульс. Физическое мышление, которое привело к концепции единичного импульса, будет обсуждаться в разделе по теории системы. Для настоящих целей мы сначала будем удовлетворять описанию единичного импульса, перечисляя его математические свойства. Во-первых, единичный импульс обозначается как δ (t), где:

Кроме того, δ(t) такой, что:

Следствие к уравнению 22-61 вытекает из того, что δ(t) обращается в нуль всюду, кроме как в начале координат, поэтому

Уравнение 22-62 истинно тогда и только тогда, когда a принимается за любое действительное число, меньшее нуля, а b принимается за любое действительное число, большее нуля. С приведенными выше утверждениями становится более комфортным, если учесть следующее. Представьте себе прямоугольник с центром в начале координат. Этот прямоугольник имеет длительность вдоль оси времени W и высоту вдоль вертикальной или ординатной оси H. Теперь, далее представьте, что H всегда равно 1 / W. Ясно, что область под прямоугольником, являющаяся произведением H с W, равна единице. Отметим также, что эта область безразмерна. Теперь рассмотрим, что длительность вдоль оси времени W становится все меньше. Когда это происходит, высота, H, становится все больше, таким образом, что произведение H с W остается постоянным в единице. В пределе, когда W обращается в нуль, H переходит в бесконечность, а произведение H с W остается равным единице. Эта предельная ситуация описывает единичный импульс δ(t). Величина, равная нулю всюду, за исключением случаев, когда число в круглых скобках, в этом случае t, равно нулю. В точке, где число в круглых скобках равно нулю, импульс имеет бесконечное значение, сохраняя при этом общую площадь единицы. Область, конечно, дается интегральным выражением уравнения 22-61 или уравнения 22-62.

Единичные импульсы могут возникать в точках, отличных от источника. Например, предположим, что нужно описать единичный импульс, который возникает при t = t0. Это указано как δ(t - t0). Импульс расположен в том месте, где число в круглых скобках становится равным нулю. В этом случае это происходит там, где t = t0. Кроме того, для этого местоположения импульса уравнение 22-62 становится:

На самом деле можно было бы представить функцию времени, обозначенную как s(t), которая представляет бесконечную последовательность повторных единичных импульсов. Пусть период повторения этого поезда обозначается как Ts. Выражение для s(t) на самом деле довольно просто.

где n - любое целое число.

По понятным причинам единичные импульсы не могут быть представлены на чертежах, сделанных в масштабе. Для графических целей жирные стрелки, расположенные соответственно по оси абсцисс, представляют собой единичные импульсы. Три обсуждаемых случая могут отображаться тогда, как показано на рисунке 22-14.

Рисунок 22-14. Различные описания единичных импульсов.

Теперь, когда существует математический формализм, настало время посмотреть, можно ли с ним сделать что-то интересное. Рассмотрим некоторую функцию времени f(t), которая вполне может быть сигналом напряжения на выходе микрофонного предусилителя. Что возможно получить путем нахождения области под кривой, представляющей произведение f(t) с δ(t - t0)? Отвечая на этот вопрос, мы сначала сделаем математическое утверждение проблемы с y, представляющим искомый ответ.

Теперь f(t) является физически генерируемым сигналом. Таким образом, функция f(t) всегда вещественна, конечна и не имеет никакого экзотического математического поведения. Однако выбранный единичный импульс равен нулю всюду, кроме t = t0. Когда t = t0, f(t) имеет значение f(t0), где f(t0) является выходным напряжением микрофонного предусилителя в момент времени, равным t0. Математически напряжение в момент t0 является просто константой, поэтому уравнение 22-65 можно записать в виде:

На словах, площадь под кривой произведения f(t) с единичным импульсом, находящимся в момент времени t0, является просто значением данной функции времени в конкретный момент времени t0. Применение таким образом, единичных импульсов к непрерывно изменяющемуся сигналу на выходе предусилителя отсеяло или отобрало конкретное значение, которое существует в момент времени, когда t равно t0. Предположим теперь, что каждый желающий периодически отбирает выход предусилителя микрофона с периодом выборки Ts или частотой дискретизации fs = 1/Ts. Аналитически это можно сформулировать как:

где n - любое целое число.

Этот процесс называется периодической импульсной выборкой. Результаты уравнения 22-67 также можно представить графически, по крайней мере, для конечного числа выборок. Это делается на рис. 22-15, где показаны три графика, представляющие собой дискретный сигнал, последовательность импульсов выборки и результаты выборки, соответственно. Выбранные точки преувеличены для удобства просмотра.

При просмотре на рис. 22-15 следует отметить, что временная координата каждого образца совпадает с временной синхронизацией соответствующего импульса выборки, в то время как ордината или значение выборки соответствуют длине сигнала в момент выборки.

Рис. 22-15. Пример импульсной выборки.

 






Дата добавления: 2022-05-07; просмотров: 12;


Поделитесь с друзьями:

Вы узнали что-то новое, можете расказать об этом друзьям через соц. сети.

Поиск по сайту:

Введите нужный запрос и Знаток покажет, что у него есть.
Znatock.org - 2022-2022 год. Для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь | Конфиденциальность
Генерация страницы за: 0.015 сек.