Спектр импульсно выбранного сигнала

То, что мы называем спектром сигнала, зависящего от времени - это описание этого сигнала по частоте, а не по времени. Получается спектр зависящего от времени сигнала путем вычисления его преобразования Фурье посредством применения уравнения 22-53.

С другой стороны, если у вас есть подробное знание спектра сигнала, тогда можно рассчитать зависимость сигнала от времени, вычислив обратное преобразование Фурье, как предписано в уравнении 22-54. Сигнал времени f(t) и его спектр F(ω) составляют пару преобразование Фурье - обратное преобразование Фурье, и компактно обозначаются как:

Чтобы определить спектр периодического импульсно дискретизированного сигнала, нам понадобится еще несколько инструментов. Во-первых, вычислим преобразование Фурье или спектр единичного импульса. Применение уравнения 22-53 к единичному импульсу во временной области дает:

В уравнении 22-69, Δ(ω) представляет собой преобразование Фурье δ(t), а вторая строка оправдана, поскольку подынтегральное выражение равно нулю всюду, кроме как в начале координат, где экспоненциальный член является константой, равной единице. В результате спектр единичного импульса является константой, не зависящей от ω. Это означает, что все частоты появляются в этом спектре в равной степени. Спектр плоский. Кроме того, поскольку Δ(ω) чисто вещественна, то все компоненты частоты имеют нулевую фазу. Это пример предельного случая, выраженного в принципе неопределенности уравнения 22-59, где продолжительность во времени имеет тенденцию к нулю, заставляя полосу пропускания становиться бесконечной. В заключение,

Предположим, однако, что единичный импульс расположен в точке t0, а не в начале координат. Результат в этом случае можно получить прямым вычислением, но это необязательно. Можно использовать общее свойство сдвига во времени преобразований Фурье. Временной сдвиг вправо от суммы t0 во временной области просто умножает исходное преобразование на e-jωt0. В этом случае,

Этот спектр все еще плоский, поскольку величина все еще равна единице, но теперь существует фаза, зависящая от частоты φ = -ωt0. Таким образом, спектр теперь комплексный. Это пример другого общего свойства преобразований Фурье в том, что импульс, расположенный только на положительной оси времени, означает, что функция времени не является ни четной, ни нечетной, что приводит к комплексному преобразованию.

Единичные импульсы могут быть умножены на константы, имеющие как численное значение, так и размеры. В таком случае считается, что импульс имеет силу, равную численному значению константы, и произведение также приобретает размеры постоянной. Например, если константа равна k, то уравнение 22-70 и уравнение 22-71 станет:

Понятие импульса может переноситься и в частотную область. В этом применении независимая переменная представляет собой угловую частоту, а не время, тогда как математические свойства единичного импульса не изменяются. Импульс, расположенный в начале координат, символизируется как δ(ω). Импульс, расположенный на фиксированной угловой частоте ω0, записывался бы как δ(ω - ω0). Бесконечную последовательность импульсов с постоянным разделением можно было бы обозначить как:

где, n – любое целое число.

Эти импульсы описываются графически на рис. 22-16.

Теперь мы можем вычислить выражения во временной области, соответствующие указанным выше спектрам в частотной области. Это делается путем применения в свою очередь уравнения 22-54 к каждому из вышеуказанных спектров.

Для импульса в начале координат:

Рисунок 22-16. Импульсы в частотной области.

Для смещенного импульса при ω0

Наконец, для бесконечного поезда импульсов

Таким образом, пары преобразование Фурье - обратное преобразование Фурье, соответственно:

Сигнал выборки s(t) уравнения 22-64 - периодическая последовательность импульсов периода Ts с основной частотой fs = 1/Ts и сопутствующей угловой частотой ωs = 2πfs. В этом случае s(t) также можно записать в виде экспоненциального ряда Фурье уравнения 22-37 с заменой ω0 на ωs.

где,

Записывая уравнение 22-80, мы воспользовались тем, что интеграция должна выполняться только за один период периодического сигнала. Наш периодический сигнал выборки s(t) является четной функцией времени, поэтому мы выбрали интервал интегрирования, чтобы пересечь начало координат. Этот выбор делает расчет коэффициента довольно простым. Сигнал дискретизации в этом интервале времени должен быть представлен только единичным импульсом в начале координат, поэтому для всех n уравнение 22-80 становится:

Как следствие, теперь мы имеем две эквивалентные формы для представления s(t), выраженные в:

Теперь мы можем определить спектр или преобразование Фурье сигнала выборки. Мы сделаем это, предварительно заметив, что из-за линейности пару преобразований в уравнении 22-78 можно масштабировать с помощью любого постоянного множителя. Кроме того, ω0 можно отождествить как ωs, поскольку они являются просто константами. Перемасштабирование пары в уравнении 22-78 множителем 2π/Ts и заменой ω0 на ωs приводит к:

Заметим теперь, что в левой части стрелки в 22-83 - это только сам сигнал выборки, а выражение в правой части - его преобразование или спектр Фурье. В официальном порядке:

Наконец, уравнение 22-83 можно было бы также записать:

На словах, спектр бесконечной последовательности равномерно расположенных единичных импульсов во временной области представляет собой бесконечную последовательность равномерно расположенных импульсов силы 2π/Ts в частотной области. Расстояние между двумя доменами связано с тем, что Ts составляет 2π/ωs. На рисунке 22-17 показан спектр сигнала выборки.

Рисунок 22-17. Спектр S(ω) сигнала выборки s(t).

Нам потребуется еще один инструмент для достижения цели данного раздела. Была сделана ссылка на этот инструмент раньше, при обсуждении процесса свертки. Этот инструмент известен как теорема о свертке частоты преобразований Фурье. Эта теорема утверждает, что, учитывая две функции времени, скажем, f(t) и g(t), причем преобразование Фурье функции f(t) есть F(ω), а g(t) - G(ω), то преобразование Фурье произведения f(t) с g(t) задается сверткой F(ω) с G(ω), деленной на 2π. Выраженный на лаконичном языке математики,

Для настоящего интересующего случая, который включает в себя выборку сигнала на выходе микрофонного предусилителя, произведение левой части уравнения 22-86 - есть f(t) с s(t). В этом случае мы принимаем f (t) как непрерывное временное описание интересующего микрофонного сигнала и s(t) как периодическую импульсную последовательность уравнения 22-82. Следуя схеме уравнения 22-86, то преобразование Фурье или спектр этого произведения, которое мы обозначим как Fs(ω), будет задаваться:

F(ω), конечно, является преобразованием Фурье функции f(t) и неизвестно, если только не указывается, какие именно звуки подвергаются микрофону. Вместо того, чтобы смотреть на результаты для конкретного случая, гораздо более важно рассмотреть общий спектр сигналов микрофона, который может служить ограничением для аудио сигналов. Слышимые аудио сигналы могут распространяться и на довольно низкие частоты, поэтому для безопасной стороны можно считать, что нижний предел спектра равен нулю. Кроме того, наиболее энергетические сигналы имеют место в диапазоне 500 Гц и ниже, в то время как сила выше 500 Гц обычно уменьшается при увеличении частоты и практически равна нулю за пределами 20 кГц. Таким образом, слышимый аудио спектр, естественно, ограничен полосой, даже когда не налагаются искусственные ограничения. В этом случае общий спектр F(ω) может появиться, как на рис. 22-18, где ωm представляет максимальную угловую частоту на верхнем пределе.

Теперь с помощью F(ω), наконец, можно определить спектр дискретизированного микрофонного сигнала, вызвав уравнение 22-87. Помните, что в процессе свертки в основном выполняется одна функция над другой, а на каждом шаге процесса вычисляется площадь под кривой продукта в области перекрытия двух функций. Графически мы сдвигаем последовательность импульсных функций на рис. 22-17 по спектру на рис. 22-18. В каждой из точек перекрытия импульсы просто реплицируются и масштабируются F(ω), создавая конечный результат, показанный на рисунке 22-19.

Рисунок 22-18. Типичный спектр слышимого аудио сигнала.

Рисунок 22-19. Спектры, участвующие в свертке, а также результат.

Спектр импульсного дискретизированного сигнала Fs(ω), вероятно, является неожиданным результатом того, что он содержит не только масштабированную версию спектра непрерывного сигнала микрофона, но и бесконечное количество реплик, равномерно расположенных на целых кратных выборке угловой частоты. На этом этапе было бы разумно рассмотреть, какой шаг или шаги необходимо предпринять, чтобы извлечь из Fs(ω) только спектр самого исходного сигнала микрофона, то есть F(ω).

Ответ представлен на рис. 22-20, где к спектру Fs(ω) применяется идеальный фильтр нижних частот с угловой частотой среза, несколько превышающей ωm, и коэффициент масштабирования Ts. Спектр, фильтрованный таким образом, является просто F(ω).

Рисунок 22-20. Восстановление исходного спектра.

На рисунке 22-20А изображен отклик требуемого фильтра нижних частот. Помните, что описание Фурье фильтра нижних частот включает как положительную, так и отрицательную частоты, и, следовательно, фильтр симметричен относительно начала координат. На рис. 22-20В представлен спектр импульсного дискретизированного сигнала, а рис. 22-20C - результат процесса фильтрации и тот же, что и спектр исходного сигнала микрофона. Этот спектр содержит всю информацию об исходном непрерывном зависящем от времени сигнале f(t), и ничто не потерялось в результате процесса выборки при выполнении, как предписано выше.

 






Дата добавления: 2022-05-07; просмотров: 17;


Поделитесь с друзьями:

Вы узнали что-то новое, можете расказать об этом друзьям через соц. сети.

Поиск по сайту:

Введите нужный запрос и Знаток покажет, что у него есть.
Znatock.org - 2022-2022 год. Для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь | Конфиденциальность
Генерация страницы за: 0.019 сек.