Что такое теорема выборки

Визуальный осмотр на рисунке 22-20 должен указывать на то, что угловая частота выборки ωs значительно превышает удвоенную максимальную угловую частоту в программном материале ωm. Расстояние, на самом деле, достаточно велико, что для восстановления идеальный фильтр не требуется. Этот факт иллюстрируется на рис. 22-21.

На рис. 22-21А показан дискретизированный спектр с откликом физически реализуемого или реального фильтра, наложенного на часть спектра, подлежащего восстановлению, в то время как на рис. 22-21В показаны результаты восстановления. Прозрачное свойство реального фильтра, показанного здесь, состоит в том, что такой фильтр обладает конечной скоростью затухания или наклоном на краю полосы пропускания. Идеальный фильтр, конечно, имел бы бесконечный наклон на краю полосы пропускания.

A. Спектр, который должен быть отфильтрован.

B. Отфильтрованный результат.

Рисунок 22-21. Восстановление с реальным фильтром возможно, когда ωs достаточно велико.

Вполне возможно, что после просмотра на рис. 22-20 и рис. 22-21, что с помощью идеального фильтра можно было бы работать с ωs = 2ωm. Эта ситуация представлена ​​на рисунке 22-22.

A. Исходный спектр.

B. Сэмплированный спектр.

Рисунок 22-22. Возникновение спектров при ωs = 2ωm.

При рассмотрении рис. 22-22 первое предположение может состоять в том, что идеальный фильтр позволит восстановить только центральный спектр, и успешная операция будет возможна, когда частота дискретизации будет вдвое больше максимальной частоты в исходном запрошенном по времени сигнале. Это, однако, не так, как видно из следующей иллюстрации, взятой из временной области.

Рисунок 22-23. Временная область, когда ωs = 2ωm.

На рисунке 22-23 сигнал представляет собой синусоиду с частотой 20 кГц. Сама частота дискретизации задается ровно 40 кГц, так что в течение каждого периода сигнала берутся два отсчета. В ситуации, изображенной на рисунке, сигнал выборки находится в фазе с отбираемым сигналом, так что образцы берутся на пересечениях нулей представляющего интерес сигнала. В этом случае получается, что все образцы равны нулю, и о сигнале ничего не узнается. Очевидно, что такой процесс выборки никогда не может привести к восстановлению исходного сигнала из выбранных значений.

После изучения вышеприведенных примеров мы теперь можем сформулировать теорему выборки. Проще говоря, в теореме выборки указано, что если сигнал непрерывного времени ограничен полосой максимальной частоты fm, то сигнал непрерывного времени может быть однозначно определен из равномерно разнесенной последовательности образцов, взятых с более чем удвоенной скоростью. Короче говоря, fs > 2fm. Соответствующие угловые частоты, разумеется, в 2 раза больше этих значений.

Aliasing. Aliasing - явление, которое возникает, когда частота дискретизации меньше, чем удвоенная максимальная частота в спектре дискретизации. То есть fs < 2fm. Здесь для ясности мы используем фактические частоты, а не угловые частоты. Большинство из нас в первую очередь испытывают это явление при просмотре вестернов, в которых присутствуют дилижансы или кибитки. Обычные 35-миллиметровые звуковые фильмы состоят из выборочных последовательностей данных, состоящих из отдельных изображений или кадров со скоростью 24 кадра в секунду (fps). Пока колеса со спицами вращаются медленно, так что спицы проходят опорную точку со скоростью, которая меньше, чем 1/2 частоты кадров, то движение спицы, по-видимому, согласуется с линейным переводом транспортного средства. Как только скорость спиц превышает половину частоты кадров, движение спицы кажется слишком медленным по сравнению с линейным переводом. В этом случае тогда спицы, по-видимому, продвигаются с меньшей скоростью или частотой, чем требуется для учета движения транспортного средства.

Фактически, когда скорость спиц сначала равна частоте кадров, спицы, похоже, остаются неподвижными, пока транспортное средство движется с хорошей отсечкой. Как будто это не так плохо, но когда скорость спицы начинает превышать частоту кадров, то вращение спиц оказывается в противоположном направлении, чем это требуется для согласования с движением транспортного средства! Будучи маленьким ребенком и большим фанатом вестернов, это меня не беспокоило, поскольку я видел движущиеся автомобили со спицами каждый день в реальной жизни, и для меня это не было в новинку. Это же явление наблюдается при наблюдении вращающихся механизмов с помощью стробоскопа. В этом случае, однако, частоту строба обычно корректируют, чтобы заставить вращательное движение казаться неподвижным или двигаться с медленной скоростью.

Aliases представляют собой частотные компоненты, отсутствующие в исходном сигнале, которые генерируются всякий раз, когда частота дискретизации меньше удвоенной максимальной частоты, которая появляется в исходном сигнале. На рис. 22-24 показана часть спектра с выборкой, где это имеет место.

Рисунок 22-24. Алиасирование происходит в затененных областях.

Ситуация, изображенная на рисунке 22-24, возникает, когда частота дискретизации слишком низкая. В этом случае спектры реплик перекрывают своих ближайших соседей, как показано заштрихованными областями на рисунке. Области, в которых происходит сглаживание (aliasing), определяются:

где n равно ± 1, ± 2, ± 3 и т. д.

Часть спектра, которая накладывается между ± fm, представляет собой область, занятую исходным сигналом. Aliases, встречающиеся в любом месте этого региона, предотвращают восстановление неискаженной версии исходного сигнала с помощью простых методов фильтрации. Подробные сведения о сглаживании лучше всего представлены с помощью численного примера.

На рисунке 22-25 отображается только ось положительной частоты из-за соображений пространства. Ситуация на оси отрицательной частоты - это просто зеркальное отображение того, что показано на рисунке. Кроме того, на рисунке имеется место только для одного спектра реплик, ориентированного на частоту дискретизации 25 кГц. Исходный спектр, который часто упоминается как спектр основной полосы в работе связи, сосредоточен в точке происхождения и простирается от -20 кГц до +20 кГц, причем на рисунке фигурирует только положительная часть. Aliasing происходит в области между 5 кГц и 20 кГц. Наклонная линия, обозначенная одиночной стрелкой, представляет информацию, связанную с высокочастотной областью спектра реплики, на самом деле это область между 12,5 кГц и 20 кГц. Обратите внимание, однако, что он падает в спектре основной полосы частот между 12,5 кГц и 5 кГц. В частности, 20 кГц в реплике появляется как 5 кГц в основной полосе. Другими словами, 20 кГц сглаживаются или участвуют в маскараде как 5 кГц и будут выглядеть как 5 кГц в процессе восстановления. Аналогично, 19 кГц будет отображаться как 6 кГц, 18 кГц будет отображаться как 7 кГц и т. д. до тех пор, пока не будет достигнута частота заворачивания fs/2 или 12,5 кГц.

За частотой заворачивания (foldover frequency), прогрессия просто меняется до 20 кГц. Любая попытка повторного захвата всего спектра основной полосы частот будет включать фильтр, который простирается до 20 кГц или немного выше и, следовательно, будет включать область псевдонимов (alias region). Если сравнить такой восстановленный спектр с оригиналом, то будет обнаружено, что форма спектра будет сильно искажена с 5 кГц и выше. Все это можно избежать, удовлетворяя условиям, изложенным в теореме выборки. Если есть свобода выбора частоты дискретизации, то просто выбирается скорость, вдвое превышающая максимальную частоту в материале программы.

Ответ на вопрос о том, насколько больше, зависит от резкости доступного восстанавливающего фильтра у восстанавливающих фильтров низкого порядка, требующих более высоких частот дискретизации. Однако может возникнуть ситуация, когда частота дискретизации не контролируется. В этом случае программный материал, который должен быть дискретизирован, должен быть ограничен диапазоном, так называемого anti-alias фильтра с максимальной частотой менее половины доступной частоты дискретизации. Здесь ответ на вопрос о том, насколько меньше, зависит от четкости доступного anti-alias фильтра. Anti-alias фильтры почти повсеместно используются независимо от того, нужны ли они в принципе или нет для защиты от возможного высокочастотного шумового загрязнения программного материала, подлежащего выборке.

Рисунок 22-25. Детали aliasing.

 






Дата добавления: 2022-05-07; просмотров: 12;


Поделитесь с друзьями:

Вы узнали что-то новое, можете расказать об этом друзьям через соц. сети.

Поиск по сайту:

Введите нужный запрос и Знаток покажет, что у него есть.
Znatock.org - 2022-2022 год. Для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь | Конфиденциальность
Генерация страницы за: 0.028 сек.