Что такое теория системы

Целью теории системы является разработка метода анализа, так что некоторые классы физических систем будут соответствовать форме сигнального потока:

Небольшая перестановка которых, предлагает математическое утверждение:

Функция отклика = (функция возбуждения)(системная функция).

Если это действительно равенство, то оно может быть записано:

Если системная функция должна иметь уникальную идентичность, связанную только с системой, из которой она возникает, она не может зависеть ни от функции отклика, ни от функций возбуждения, поскольку резистор, который подчиняется закону Ома, не зависит ни от напряжения, ни от тока. Независимость функции системы от функции возбуждения означает, что ни размер возбуждения, ни время его применения не имеют большого значения. Это требует, чтобы система, из которой была выведена системная функция, должна быть как линейной, так и инвариантной по времени. Для достижения цели теории системы необходимо преобразовать уравнения во временной области, управляющие системой, в соответствующие уравнения в комплексной частотной области. Прежде чем исследовать какие-либо детали, связанные с этими понятиями, следует упомянуть гения, которому мы в основном обязаны большой благодарностью за то, что он сделал все возможное.

Оливер Хевисайд (1850-1925) родился в Лондоне и получил только среднее образование. Он был племянником сэра Чарльза Уитстона, но, по-видимому, был из бедной семьи. В молодости он работал в компании Great Northern Telegraph Company, но должен был покинуть компанию в возрасте 24 лет из-за начинающейся глухоты. После этого он поставил перед собой огромную задачу по изучению и пониманию трактата Максвелла. Мало того, что он преуспел в этом начинании, он также приступил к решению многих выдающихся электрических и коммуникационных проблем того времени, используя методы анализа, которые ему пришлось развивать, чтобы компенсировать отсутствие формальной математической подготовки. Он был физиком в высшем смысле этого слова, поскольку он считал, что физические идеи должны быть мастером, с математикой в услужении. По его мнению, слуга должен присоединиться к прихотям мастера.

В результате высокопоставленные академические математики своего времени боролись против математических методов Хевисайда, и только в 1916 году они, наконец, оказались на твердой математической основе и были безжалостно приняты математиками. К счастью в то же время, физики и инженеры использовали их с большим успехом. В 1887 году, через 13 лет после того, как он начал свои серьезные исследования, Хевисайд решил проблему передачи без искажения по телеграфным и телефонным кабелям и, таким образом, сделал возможность дальнего и широкополосного общения на этих носителях. Уильям Томсон вел серьезное исследование этой проблемы с 1855 года, но не довел ее до окончательного вывода. Решение Хевисайда кабельной проблемы в первую очередь состоит в электрической эквализации. Метод выравнивания Хевисайда был принят профессором Пупином из Колумбийского университета в Соединенных Штатах и впоследствии введен в американской телефонной промышленности. Хевисайд публиковал все свои работы за свой счет.

Хевисайд, наряду с профессором Кеннелли из Гарвардского университета, также первым объяснил роль ионосферы в дистанционной радиосвязи. Вклад Хевисайда был хорошо известен, и он получил много почестей к концу своей жизни, но в современных учебниках его имя почти никогда не упоминается. Его математические методы были в значительной степени вытеснены преобразованием Лапласа, которое является более общим, или преобразованием Фурье, которое на самом деле является частным случаем двусторонней версии преобразования Лапласа. Системный подход, принципиально использующий физические рассуждения, был единственным у него, и это однозначно гарантирует его постоянную память.

При определении системных или передаточных функций инструментом выбора является преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа является интегральным преобразованием, которое преобразует функцию независимой переменной времени, символизируемой t, в некоторую другую функцию комплексной переменной частоты, обозначенной S, где S имеет как действительную, так и мнимую части

Двухстороннее преобразование Лапласа функции от t задается формулой:

Преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа, где частотная переменная является чисто мнимой.

При анализе систем инструмент преобразования, который должен использоваться, - одностороннее преобразование Лапласа, заданное формулой:

Это используется по двум причинам. Во-первых, рассмотрение временных сигналов, определенных только для t ≥ 0, автоматически удовлетворяет принципу причинности. Во-вторых, преобразование Лапласа с комплексной частотной переменной по своей природе принимает во внимание любые начальные условия, существующие в системе при t = 0.

Можно применить уравнение 22-100, чтобы непосредственно вычислить преобразование Лапласа заданного f(t). Это часто не обязательно, поскольку доступны таблицы, содержащие преобразования часто встречающихся функций времени. Такие таблицы называются таблицами функций и пар преобразований и могут быть найдены в большинстве математических справочников. Таблица 22-4 представляет собой сокращенную таблицу, представленную здесь для получения справки.

Законы физики, управляющие поведением физических систем, математически выглядят обычно в форме дифференциальных или интегрально-дифференциальных уравнений, зависящих от времени. В процессе достижения цели теории системы необходимо взять преобразование Лапласа для каждого слагаемого в таких уравнениях. Математические операции включают последовательное дифференцирование и/или интеграцию. Также доступны таблицы, относящиеся к математическим операциям, зависящим от времени, и их соответствующим преобразованиям. Краткая такая таблица также будет представлена ​​здесь для получения полной справки.

Несколько пояснений, приведенных в таблице 22-5, необходимы для уточнения. В первой записи, если f(t) - функция временной области, ее преобразование Лапласа представлено F(S). Во второй записи функция временной области является первой производной от f(t) по t. Соответствующее преобразование Лапласа это S раз, когда преобразование Лапласа f(t) меньше значения f(t) в момент нулевого времени. Третья запись - функция временной области, представляющая вторую производную по времени функции f(t). Преобразование Лапласа этой функции, зависящей от времени, является квадратом S, умноженным на преобразование f(t), уменьшенное в S раз по сравнению с начальным значением f(t), и, кроме того, значение первой производной по времени f(t), оцененной в начальный момент времени. Наконец, в четвертой записи функция, зависящая от времени, является интегралом по времени f (t).

Таблица 22-4. Короткая таблица функций пар преобразований.

Преобразованием этой зависимой от времени функции является преобразование f(t), деленное на S, и интеграл времени f(t) по t, оцененный в начальный момент. Этот последний термин, вероятно, требует еще большего объяснения. Например, представьте, что f(t) представляет электрический ток в конденсаторе, тогда интегралом тока будет электрический заряд на конденсаторе, а значение интеграла в начальный момент будет зарядом на конденсаторе, когда t равно нулю.

Таблица 22-5. Короткая таблица операций пар преобразований.

На данный момент было бы целесообразно применить этот метод анализа к физической системе, начиная с первых принципов. Чтобы не быть амбициозными. Будет выбрана относительно простая система. Эта система будет состоять из генератора сигналов, зависящего от времени, который имеет ЭДС открытой цепи, обозначенную, как ei(t), и внутреннее сопротивление Ri. Этот генератор подает сигнал на входную цепь усилителя напряжения, входная схема которого может быть точно смоделирована как сопротивление Ra параллельно с емкостью Ca. Задача состоит в том, чтобы определить передаточную функцию для этой системы, где возбуждение равно ei(t), точная форма которого произвольна, а отклик должен быть va(t), где va(t) - зависящее от времени напряжение, появляющееся на входных клеммах усилителя. Таким образом, схема отображается, как показано на рисунке 22-34.

Рисунок 22-34. Модель входной схемы усилителя.

Следующий шаг - применить законы физики, написав дифференциальное уравнение, которое управляет системой, зависящей от зависящего от времени напряжения va как зависимой переменной. Ток в резисторе Ra представляет собой напряжение va, деленное на сопротивление Ra. Ток в конденсаторе Ca - это скорость изменения заряда на этом конденсаторе, которая, в свою очередь, является значением емкости, умноженной на скорость изменения напряжения на клеммах конденсатора. Ток в резисторе Ri является суммой этих токов. ЭДС генератора равно напряжению через Ri плюс напряжение va. Таким образом, уравнение, определяющее поведение схемы,

В этом примере начальный заряд на конденсаторе при t = 0 будет приниматься равным нулю, хотя возможны другие варианты, определенные предыдущей историей схемы до подключения генератора. Процедура продолжается, беря преобразование Лапласа каждого члена в этом уравнении. Поскольку ни ei(t), ни, конечно, va(t) не известны явно как функции времени, их преобразования Лапласа подразумеваются соответственно через Ei(S) и Va(S). Преобразованное уравнение:

Обратите внимание, что производная по времени зависимой от времени функции была заменена умножением преобразованной временной функции на комплексную частотную переменную S, как указано во второй записи в таблице 22-5. Здесь также нет вклада от начальных условий, поскольку va(t) равна нулю до t = 0. Преобразованное уравнение можно решить алгебраически, чтобы получить:

В результате говорится, что отклик как функция комплексной частоты S равен возбуждению, выражаемому как функция комплексной частоты, умноженной на какую-либо другую функцию комплексной частоты S. Эта другая функция является передаточной функцией, которую будем обозначать H(S). Должно быть ясно, что:

Передаточная функция - действительно мощный код, который позволяет определить, как система будет вести себя независимо от характера возбуждения. Фактически, как будет показано сейчас, передаточная функция представляет собой описание в комплексной частотной плоскости отклика системы на импульс, применяемый как возбуждение во временной области, а обратное преобразование Лапласа передаточной функции - это описание временной области такого отклика.

Что такое единичный импульс, и каково его преобразование Лапласа? Концепция импульса возникла в классической механике, в которой второй закон движения Ньютона утверждает, что сила, приложенная к частице, равна скорости времени изменения линейного импульса частицы или:

В уравнении 22-105, m - масса частицы, v - мгновенная скорость частицы, а произведение двух - линейный импульс частицы. Теперь, учитывая силу, которая сама по себе может зависеть от времени, какое изменение импульса частицы происходит в какое-то определенное время, скажем, t0? Ответ:

Этот интеграл называется импульсом силы или просто импульсом. Результатом импульса является определенное изменение импульса частицы. Однако данное изменение импульса может быть вызвано различными способами. Сила может быть слабой, но длиться долгое время или может быть сильной, но длиться всего лишь короткое время. Пока интегралы равны в двух случаях, результат будет таким же. Теперь рассмотрим функцию времени, которая имеет временную зависимость, как показано на рисунке 22-35.

Рисунок 22-35. Функция, зависящая от времени.

Прежде всего, отметим, что площадь под кривой равна единице. Теперь представьте, что t0 становится все меньше, а высота графика, обратно пропорциональная t0, становится все больше и больше, если общая площадь остается равной единице. В пределе, по мере приближения t0 к 0, высота приближается к ∞, в то время как площадь остается единичной. Импульс этой функции, т. е. области под кривой, всегда равен единице и, следовательно, называется единичным импульсом, но функция, построенная по времени, выросла до бесконечно большой, а ее существование стало бесконечно коротким. Эта своеобразная функция называется импульсной функцией или δ(t). Преобразование Лапласа этой функции можно найти на этапах предельного процесса, используемого при приближении к самой функции, следующим образом.

При оценке этого предела член e-St0 заменяется расширением бесконечного ряда для этой величины, и только главные члены ряда сохраняются, потому что все члены более высокого порядка пренебрежимо малы по сравнению с ведущими членами. Следовательно,

Вывод состоит в том, что преобразование Лапласа δ(t) равно 1! Обратите внимание, что размер ординаты на рис. 22-35 является обратным временем и что площадь безразмерна. Теперь, если физическая величина, такая как напряжение, имеет импульсное поведение, это представлено kδ(t), где размер k представляет собой значение напряжения, а размеры k - секунды. Произведение kδ (t) называется импульсом силы k. Напомним, что для простой изучаемой системы в 22-109

Если генератор, возбуждающий систему, имеет временное поведение импульсной функции силы k, это уравнение станет:

Альтернативно, уравнение 22-109 может быть написано:

Можно исследовать также поведение системы во временной области для такого возбуждения. Для этого необходимо провести обратное преобразование Лапласа от частотного поведения домена:

В уравнении 22-112, операция принятия обратного преобразования Лапласа указана слева с соответствующей функцией временной области справа. Математические операции, связанные с преобразованием Лапласа и его обратными, являются линейными и, следовательно,

Функция h (t) является откликом во временной области системы на единичный импульс. Уравнение 22-113 говорит, что h(t) и H(S) составляют пару функций преобразования. Это означает, что передаточная функция системы - это отклик системы, выраженный в комплексной частотной области, на единичный импульс, применяемый во временной области. Существует формальный способ принятия обратного преобразования Лапласа, но это сложно, поскольку оно включает в себя интеграцию контура в комплексной плоскости. Обычно применяемая процедура - это обратиться к таблице функций, преобразовательным парам и, надеюсь, найти подходящую комбинацию f (t) ⇔ F (S). Пара номер девять в таблице 22-4 подходит в этом случае, когда идентифицирует:

и признает, что 1 / RiCa является просто константой.

Тогда импульсный отклик этой простой системы как функции времени:

Графически это имеет вид затухающей экспоненты.

На словах, что произошло, это так. Генератор при t = 0 создает импульс силы k, предполагающий бесконечно большое напряжение в течение бесконечно короткого периода времени. Впоследствии напряжение на клеммах усилителя переходит от 0 до конечного значения в течение бесконечно короткого периода времени. Это напряжение затем экспоненциально убывает со временем из этого конечного значения и асимптотически стремится к нулю, когда t растет бесконечно большим. Это описание временной области, но для того, чтобы узнать все это, необходимо было преобразовать проблему в сложную частотную область. Как это выглядит в этом домене? Для простоты пусть Ri и Ra кажутся равными 1 Ω и Ca = 1 F. Маловероятный набор значений, но тем не менее удобный. С этим назначением,

Напомним, что в общем случае S = σ + jω, т.е. функция H(S) комплексная.

Это можно записать в виде:

где, |H(S)| - абсолютная величина H(S), φ - фаза H(S).

|H| представляет собой двумерную поверхность, которая имеет вид на рис. 22-36.

Рисунок 22-36. Поверхность передаточной функции.

На рисунке 22-36 плоскость ниже поверхности представляет собой комплексную частоту или плоскость S. Поверхность передаточной функции существует в трех измерениях, так что каждая точка на поверхности имеет, в общем, координаты х, y и z. Ось x соответствует σ, ось y соответствует jω, а ось z - величина H(S). В точке σ = -2, ω = 0, поверхность поднимается до бесконечности, так как величина передаточной функции в этой точке бесконечна. Эта особая (сингулярная) точка называется полюсом передаточной функции. Расположение полюса в левой половине комплексной плоскости, вызванное отрицательным σ, очень важно, так как это приводит к тому, что импульсная характеристика является затухающей экспонентой. Если полюс был расположен в правой половине комплексной плоскости, то импульсная характеристика была бы растущей экспонентой, и система не была бы физически реализуемой стабильной системой. Эта поверхность достаточна для описания полного поведения этой системы для всех типов возбуждений, как в стационарном состоянии, так и в переходном состоянии. Например, если взять срез через эту поверхность, присваивая σ значение нуля, то появляется точная амплитудная характеристика системы для синусоидального возбуждения. Это показано на рисунке 22-37.

Рисунок 22-37. Амплитудный отклик для синусоидального возбуждения.

Наконец, срез, взятый через точку σ = -2 и произвольное значение ω, образует угол с вещественной осью, который равен φ = atan (-ω/2). Это фазовый отклик системы для стационарного синусоидального возбуждения.

Требует рассмотрения еще одна возможная особенность передаточной функции. Чтобы увидеть это, исходная схема должна быть изменена путем вставки конденсатора между генератором и усилителем исходного примера. Пусть этот конденсатор также для простоты имеет значение 1 F. Новая передаточная функция станет:

и новая поверхность передаточной функции изображена на рис. 22-38.

Рисунок 22-38. Измененная поверхность передаточной функции.

Теперь поверхность передаточной функции имеет два полюса, а не один, как в первом случае. Это связано с тем, что знаменатель передаточной функции теперь является квадратичным, имеющим два разных корня или значения S, для которых знаменатель обращается в нуль, а величина передаточной функции становится бесконечной. Однако действительно новая особенность - это точка, в которой поверхность контактирует с плоскостью S. Эта точка обозначает значение для S, при котором передаточная функция имеет значение нуля. В этом случае это происходит, когда оба, и σ, и ω равны нулю. Эта точка называется нулем передаточной функции. Форма общей поверхности передаточной функции определяется расположением полюсов и нулей. Тот факт, что нуль в этом случае происходит в начале координат в плоскости S, означает, что система не реагирует на постоянный ток в установившемся состоянии. Dc, конечно, означает, что частота возбуждения равна нулю. Амплитудный отклик стационарного состояния с синусоидальным возбуждением для этой модифицированной системы показан на рисунке 22-39.

Рисунок 22-39. Амплитудный отклик модифицированной системы.

Добавление конденсатора к цепи создало систему, которая теперь представляет собой полосовой фильтр, который должен быть очевиден по форме кривой амплитудного отклика. Тесная связь между формой поверхности передаточной функции и расположением полюсов и нулей передаточной функции привела к быстрому анализу передаточных функций, называемых анализом полюсов. Этот метод следует изучать подробно, поскольку он не является интенсивным с использованием вычислительных средств и дает большинство важных ответов в отношении поведения системы.

 






Дата добавления: 2022-05-07; просмотров: 11;


Поделитесь с друзьями:

Вы узнали что-то новое, можете расказать об этом друзьям через соц. сети.

Поиск по сайту:

Введите нужный запрос и Знаток покажет, что у него есть.
Znatock.org - 2022-2022 год. Для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь | Конфиденциальность
Генерация страницы за: 0.034 сек.