Анализ полюсов и нулей

Принципиальная схема входной схемы модифицированного усилителя показана на рисунке 22-40.

Рис. 22-40. Модифицированные входные цепи усилителя.

Если анализировать эту схему, используя методы, представленные в главе 8 «Интерфейсы электрических и акустических систем», то отношение выходного напряжения к входному напряжению было бы записано как:

Если конденсаторы не заряжены и нет токов до подключения генератора при t = 0, уравнение 22-121 можно легко ввести в язык преобразования Лапласа, просто заменив jω, где бы он ни появлялся, на S. При этом важно помнить, что S все еще представляет σ + jω. После этой подстановки и некоторого алгебраического упрощения уравнение становится:

На этом этапе можно заменить типичные значения для каждого из компонентов схемы и обработать набор чисел, которые приведут или выберут некоторые значения, которые иллюстрируют процедуру, которой необходимо следовать, не требуя утомительного численного расчета. Мы будем проводить последний курс, беря единичные значения для каждой из компонент, в этом случае уравнение 22-122 становится просто:

Целью на этом этапе является найти полюсы и нули передаточной функции в комплексной плоскости S. При проверке, если S установлено равным нулю, то значение передаточной функции также становится равным нулю. Поэтому в начале координат имеется единственный нуль. Полюсы передаточной функции соответствуют значениям S, которые при замещении в знаменателе вынуждают знаменатель иметь нулевое значение и, таким образом, вынуждают передаточную функцию становиться бесконечной. Знаменатель здесь квадратичен по S и, следовательно, существуют два значения S, которые делают знаменатель нулевым, поэтому эта передаточная функция имеет два полюса. Расположение полюсов идентифицируется путем факторизации знаменателя. Прямое применение квадратичной формулы приводит к:

Полюсы тогда расположены при S = ​​-0.382 и S = ​​-2.618. Полюс и нулевая диаграмма изображают эти местоположения и представлены на рисунке 22-41.

Рисунок 22-41. Диаграмма полюса-нуля.

Расположение нуля на диаграмме на рис. 22-8 обозначается кружком в начале координат. На рисунке показана линия, взятая из этого местоположения, до произвольного значения ω. Эта линия делает прямой угол с положительной вещественной или σ-осью. Расположение двух полюсов обозначается xs. В этом случае оба полюса имеют реальные значения, и каждый из них расположен на отрицательной вещественной оси. Линии рисуются от каждого полюса до выбранного произвольного значения ω, и эти линии образуют углы α и β соответственно с положительной вещественной осью. Функция фазового отклика может быть легко рассчитана путем наблюдения углов на этой диаграмме. В случае стационарного синусоидального возбуждения функция фазового отклика представляет собой просто разность фаз между выходным сигналом и входным сигналом, выраженным как функция ω. Эта разность фаз может быть извлечена непосредственно из рисунка. Эта разность фаз представляет собой сумму всех углов, приносимых нулями, минус суммы всех углов, создаваемых полюсами. В этом случае существует только один нуль, а его угол равен π / 2. Существует два полюса, которые вместе образуют углы α и β. Обозначая разность фаз φ, функция фазового отклика становится:

Амплитудный отклик для синусоидального возбуждения представляет собой величину выходного сигнала, деленную на величину входного сигнала, выраженную как функция ω. Это можно вычислить непосредственно из уравнений 22-123 или 22-124. Просто заменяют jω для S, где появляется S, а затем определяют величину полученной комплексной величины. Эта замена дает:

Величина числителя равна просто ω. Напомним, что величина знаменателя является квадратным корнем из суммы квадратов действительной и мнимой части, поэтому функция амплитудного отклика записывается как:

Судя по представленным до сих пор примерам, может показаться ложное впечатление, что полюсы передаточных функций всегда являются вещественными величинами. На самом деле, полюса чаще всего комплексные. В качестве иллюстрации комплексных полюсов можно привести пример реальной проблемы, связанной с магнитным фонограммным картриджем. Элементы пассивной схемы, связанные с конструкцией картриджа и входной схемой предусилителя, к которому он может быть подключен, показаны на рисунке 22-42.

Рисунок 22-42. Схема магнитного картриджа фонографа.

Внутренняя структура картриджа моделируется как идеальный источник напряжения последовательно с индуктивностью катушки картриджа, представленной L, и сопротивлением обмотки катушки, представленной r. Резистивная нагрузка, представляемая предусилителем на картридж, равна R, а шунтирующая емкость предусилителя и связанного соединительного кабеля представлена ​​суммарной емкостью C. Точное выражение для передаточной функции равно:

На практике сопротивление нагрузки R устанавливается примерно в пятьдесят раз больше, чем сопротивление картриджа, r. Кроме того, L/R >> rC для типичных систем, поэтому небольшая ошибка возникает при использовании следующей более простой формы:

Анализ здесь не касается характеристик записи, предварительного акцента или снятия акцента, а скорее точной передачи сигнала, создаваемого генератором, независимо от его формы. Нет нулей в передаточной функции уравнения 22-129. Это означает, что существует отклик, распространяющийся на постоянный ток или нулевую частоту. Существует два полюса, о чем свидетельствует знаменатель, являющийся квадратичным в комплексной частотной переменной. Эти факты, взятые вместе, определяют отклик фильтра нижних частот второго порядка, где форма отклика зависит только от местоположений полюсов. Порядок полюсов определяется наивысшей степенью комплексной частотной переменной, которая появляется в полиноме, который составляет знаменатель передаточной функции. Независимо от размещения полюсов в левой половине комплексной плоскости, каждый полюс способствует асимптотической скорости затухания 6 дБ / октаву и асимптотическому фазовому сдвигу -π / 2 радиан. Скорость затухания этого фильтра на высоких частотах составляет, таким образом, 12 дБ / октаву с сопутствующим фазовым сдвигом на высоких частотах π радиан. Вопрос становится местом размещения полюсов, чтобы получить идеальный отклик и что представляет собой этот «идеальный» отклик. При изучении этого места размещения полезно передать передаточную функцию в стандартную форму, которая:

Поведение полинома в знаменателе уравнения 22-131 теперь зависит от значения, присвоенного значению ω0, и значения коэффициента α. Существует множество возможностей, из которых найдены три различных класса полиномов, обладающих полезными характеристиками. Это полиномы Бесселя, Баттерворта и Чебышева.

Полиномы Бесселя предлагают наиболее линейное фазовое поведение с обратным значением ω0, равным задержке группы сигналов на нулевой частоте.

Полиномы Баттерворта предлагают максимально плоский амплитудный отклик, а ω0 - угловая частота при отключении, т. е. угловая частота, при которой амплитудный отклик составляет -3 дБ для фильтра низких или высоких частот. Обратите внимание, однако, это соответствует центральной угловой частоте для полосового фильтра.

Полиномы Чебышева имеют контролируемую рябь в амплитудной зависимости, обеспечивая при этом скорость быстрого затухания вблизи точки отсечения фильтра. Значение ω0 для Чебышева соответствует угловой частоте, при которой затухание на срезающем краю полосы пропускания равно минимуму пульсации в полосе пропускания.

Если «идеальный» отклик, которого надо достигнуть, - это самый плоский амплитудный отклик, то выбором будет полином Баттерворта. Интересным свойством полиномов Баттерворта является то, что независимо от полиномиального порядка, полюса расположены на полукруге радиуса ω0 в левой половине плоскости S. Кроме того, для многочлена Баттерворта второго порядка, который здесь имеет место, α имеет значение . Эти положения полюсов показаны на рисунке 22-43.

На рисунке 22-43, радиус полукруга – ω0, полюса объединяются комплексно, и они отделены угловым интервалом π/2. Если знаменатель был бы третьего порядка, то было бы три полюса. Один из них был бы на отрицательной вещественной оси при -ω0. Остальные два образуют сопряженную пару, размещенную так, что угол между данным полюсом и его ближайшим соседом будет π/3.

Рисунок 22-43. Комплексные полюсы второго порядка полинома Баттерворта.

Таким образом, шаблон продолжается для всех более высоких порядков с нечетными порядками, дающими один полюс на отрицательной вещественной оси с сопутствующими сопряженными парами. Четные порядки вносят только сопряженные пары и для любого порядка n угол между любым полюсом и его соседом равен π/n. Анализ картриджа с фонографом теперь можно завершить, сравнивая уравнения 22-130 и 22-131, требуя, чтобы α был . Это сравнение приводит к идентификации:

Следующим шагом будет решение уравнения 22-131 для C:

Типичный картридж высокого качества имеет индуктивность, внутреннюю по отношению к своей структуре 0,5 H. Кроме того, сопротивление нагрузки R обычно устанавливается на уровне 47 k Ω. Когда эти значения подставляются в уравнение 22-133, установлено, что общая допустимая шунтирующая емкость для получения максимально плоского отклика является:

Чтобы найти частоту среза, используйте:

Используя уравнение 22-134 и значение шунтирующей емкости в примере, частота отсечки для схемы картриджа становится равной:

Это значение частоты отсечки является приемлемым, но низкое значение C обеспечивает тщательную обработку схемы предусилителя и соединительного кабеля картриджа с фонограммой. На рисунке 22-44 показан амплитудный отклик с использованием значений, найденных в приведенном выше примере. График выполнен в виде 20 dBlog| V0(S)/Ei(S)| против logf.

В случае, если емкость шунта больше, чем требуется для фильтра Баттерворта, отклик будет иметь пик, как показано на рисунке 22-45.

Наконец, на рис. 22-46 показан результат работы с точной формой передаточной функции, выраженной в уравнении 22-129. В этом случае значения L и r являются значениями, предоставленными изготовителем хорошо оцененного картриджа, значение R принимается как 47 кОм, а C рассчитывается как обычно для оптимальной нагрузки.

Рисунок 22-44. Амплитудный отклик оптимально нагруженного фонограммного картриджа.

Рисунок 22-45. Амплитудный отклик с избыточной шунтирующей емкостью.

Рисунок 22-46. Отклик с использованием точной формы передаточной функции.

Чтобы полностью описать частотную характеристику состояния системы с синусоидальным возбуждением, необходимо описать амплитудный отклик в зависимости от частоты или угловой частоты и, кроме того, описать фазовый отклик в зависимости от частоты или угловой частоты. Эта информация содержится в комплексной передаточной функции и может быть отделена путем отдельного изучения величины передаточной функции по сравнению с выбранной частотной переменной и угла передаточной функции по сравнению с выбранной частотной переменной. Боде-графики являются стандартным способом отображения этих результатов. Амплитудный отклик, отображаемый на графике Боде, имеет форму 20 дБ десятичного логарифма передаточной функции по сравнению с десятичным логарифмом частоты выбранной частотной переменной. Фазовый отклик, отображаемый на графике Боде, имеет форму разности фаз между выходом и входом, которая является фазой передаточной функции, построенной по графику по отношению к десятичному логарифму выбранной частотной переменной. Рис. 22-47 и 22-48 - графики Боде для картриджа с фонограммой с оптимальной шунтирующей емкостью.

Рисунок 22-47. Боде участок амплитудного отклика картриджа.

Рисунок 22-48. График Боде фазового отклика картриджа.

 

 

Дальнейшие соображения. Из предыдущей работы можно сделать ошибочный вывод о том, что передаточные функции всегда безразмерны. Это было в приведенных примерах, поскольку как возбуждение, так и отклик были напряжениями. Это, конечно, не всегда так. В электрических системах возбуждение может быть напряжением или током, тогда как отклик может быть током или напряжением. Для тех случаев, когда возбуждение и отклик являются одинаковыми величинами, передаточная функция будет безразмерной. В других случаях измерения будут соответствовать размерам адмитанса или импеданса.

В частности, будут те случаи, когда исследуемая система является преобразователем, таким как микрофон или громкоговоритель. Возбуждение для микрофона - это акустическое давление, а отклик - напряжение. Для громкоговорителя верно только обратное, возбуждение - это напряжение, а отклик - акустическое давление. Таким образом, передаточная функция будет иметь размерность вольт на паскаль (V/Pa) или паскаль на вольт (Pa/V) соответственно. В любом случае передаточная функция может быть записана в виде масштабного коэффициента, который включает в себя численную чувствительность, а также соответствующие размерности, умноженные на частотно-зависимый член, который сам по себе безразмерный.

Выше было много сказано относительно допустимых положений полюсов, реальных или комплексных. Физически реализуемая стабильная система - это система, импульсный отклик которой со временем исчезает (спадает). Чтобы это было верно, каждый полюс передаточной функции должен иметь отрицательную действительную часть. Геометрически это означает, что все полюса должны располагаться в левой половине плоскости S. Учитывая, что это так, существуют ли подобные ограничения в отношении местоположения нулей передаточных функций? Ответ на этот вопрос отрицательный. Нули, реальные ли они, мнимые или комплексные, могут располагаться везде без какого-либо влияния на стабильную системную реализуемость. Однако нулевые местоположения играют важную роль в отношении фазового отклика системы.

Фазовые отклики системы можно разделить на две категории: минимальные фазовые системы и не минимальные фазовые системы. Физически заявленная, минимальная фазовая система - это та, которая может выпустить свою накопленную энергию за минимальное время. Однако если рассматривать в частотной области, то минимальное время переводится в минимальный фазовый сдвиг. Это может быть исследовано путем изучения импульсного переходного отклика во временной области или, альтернативно, путем сравнения фазового отклика в частотной области. Рассмотрим две неидентичные системы, которые имеют один и тот же амплитудный отклик, но отличаются по своим фазовым откликам. Можно ли построить такие системы, и если да, то, как отличаются их диаграммы полюса-нуля? Чтобы показать, что такие системы могут быть построены, рассмотрим следующие две передаточные функции.

В уравнениях 22-136 и 22-137, k - одна и та же константа. Амплитудный отклик из уравнения 22-136:

Амплитудный отклик уравнения 22-137:

Даже просто беглый анализ выражений амплитудного отклика показывает их равенство. Разница между уравнением 22-136 и уравнением 22-137 должна быть обнаружена в фазовых откликах. Диаграммы полюса-нуля для этих передаточных функций изображены на рис. 22-49.

Рисунок 22-49. Сравнение диаграммы полюса-нуля.

Уравнение 22-136 описывает минимальную фазовую систему, а на рис. 22-49 ее фазовый отклик:

Уравнение 22-137 описывает не минимальную фазовую систему и, опять же, из рисунка 22-49, ее фазовый отклик:

При записи 22-139 следует отметить, что углы всегда рисуются относительно чувства положительной вещественной оси и, следовательно, угол γ равен 180° или π меньше угла, содержащегося в основании треугольника справа, который является atan (ω/3). Эти два фазовых отклика показаны на рисунке 22-50.

Рисунок 22-50. Не минимальное и минимальное сравнение фаз.

На рис. 22-50 φn больше φm на всех конечных частотах и ​​только приближается к равенству с φm, так как частота становится бесконечной.

Вывод состоит в том, что минимальные фазовые системы характеризуются наличием нулей их передаточной функции, расположенных в левой половине плоскости S или, в худшем случае, на мнимой оси. Важность системы минимального фазового типа заключается в том, что только минимальные фазовые системы можно эквализировать (выравнивать). Действительность этого утверждения, хотя и не сразу очевидная, станет очевидной в следующем разделе.

 






Дата добавления: 2022-05-07; просмотров: 14;


Поделитесь с друзьями:

Вы узнали что-то новое, можете расказать об этом друзьям через соц. сети.

Поиск по сайту:

Введите нужный запрос и Знаток покажет, что у него есть.
Znatock.org - 2022-2022 год. Для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь | Конфиденциальность
Генерация страницы за: 0.031 сек.