Цифровые системы и Z-преобразование

Мы начнем изучение теории цифровой системы, сначала рассматривая аналоговую систему, которая также может быть смоделирована в цифровом виде почти интуитивно. В связи с анализом последовательных аналоговых и цифровых моделей таблица 22-6 окажется весьма полезной.

Таблица 22-6. Функции системного анализа, как в аналоговых, так и в цифровых доменах.

Аналоговая система состоит только из двухвходового сумматора и линии передачи, такой как секция коаксиального кабеля (предполагается, что она без потерь и надлежащим образом завершена). Время прохождения сигнала по кабелю от входа до завершения принимается за фиксированное время, обозначенное T. Этот же интервал времени T также будет приниматься за интервал выборки в соответствующей цифровой системе. На рисунке 22-68 показан чертеж аналоговой системы.

Рисунок 22-68. Это простая аналоговая система, которая должна служить моделью для соответствующей цифровой системы.

При выполнении системного анализа аналоговой системы на рис. 22-68 рассмотрим, как система ведет себя при импульсном возбуждении, так что входной сигнал принимается δ(t). Выходной сигнал - это просто сумма ввода с версией ввода, которая была отложена на время T. Обозначая входной сигнал через f(t) и выходной сигнал через g(t), мы можем написать:

Следующий шаг - принять преобразование Лапласа входного сигнала и преобразование Лапласа выходного сигнала. Преобразование Лапласа единичного импульса это просто 1, а преобразование Лапласа во временном сдвиговом единичном импульсе - это просто e-ST, умноженное на преобразование Лапласа самого единичного импульса, так что:

Передаточная функция системы это частное выходного преобразования Лапласа по входному преобразованию Лапласа и, таким образом,

Соответствующий чертеж цифровой системы представлен на рис. 22-69.

Рисунок 22-69. Соответствующая цифровая система.

Цифровая система на рис. 22-69 имеет свой вход, предоставленный регистром данных на выходе АЦП. Ввод описывается числовой последовательностью {f(nT)}, где n может варьироваться всеми целыми значениями от нуля до бесконечности. Аналогично, выход описывается числовой последовательностью {g(nT)}. Если никакие сигналы не были применены до n = 0, содержимое регистра сдвига будет равно 0, как и содержимое регистра данных АЦП. При n = 0 регистр данных на выходе АЦП принимает значение 1, а содержимое регистра сдвига остается равным 0. Когда n принимает значение 1, содержимое регистра данных становится нулевым и остается там, поскольку никакие другие сигналы не считаются примененными к системе. С другой стороны, когда n принимает значение 1, то регистр сдвига приобретает значение 1, которое ранее содержалось в регистре АЦП. Регистр сдвига всегда отстает от регистра данных на одну выборку, тем самым вводя задержку T так же, как и коаксиальный кабель в аналоговой системе. Сумматор представляет на своем выходе комбинированное содержимое как регистра данных, так и регистра сдвига. Такое поведение приводится в таблице 22-7.

Таблица 22-7. Таблица цифровых данных.

Для рассматриваемой цифровой системы возбуждающим сигналом считается единичный импульс, примененный при n = 0, поэтому все записи в таблице за n = 1 будут равны 0. Передаточная функция системы вычисляется теперь, принимая Z преобразование выходного сигнала, а затем деля его на Z-преобразование входа. Следуя описанию Z преобразования, перечисленному в таблице 22-6, эти преобразования оказываются:

При написании результатов уравнения 22-154 было признано, что Z-0 = 1. Передаточная функция, описывающая работу этой цифровой системы,

Когда заменяют значение Z, указанное в таблице 22-6, в уравнение 22-155 установлено, что передаточная функция цифровой системы имеет математическую форму, идентичную функции аналоговой системы, из которой она была смоделирована. Это исключительный случай в этом отношении, который будет изучен при рассмотрении других цифровых систем. Многие читатели признают, что как аналоговая, так и цифровая система, рассмотренная до сих пор, составляют гребенчатый фильтр, поскольку они просто добавляют данный сигнал к самой задержанной версии. Однако существует значительная разница, поскольку в аналоговом мире интервал задержки может принимать любое значение, тогда как в цифровом мире он ограничен интегральными кратными интервалу выборки. Это будет иметь далеко идущие последствия. Цифровая система этого примера является частным случаем фильтра цифрового типа, который в общем упоминается как фильтр с конечной импульсной характеристикой или FIR. Он называется фильтром с конечной импульсной характеристикой, поскольку его отклик на единичный импульс существует конечный интервал времени. Это контрастирует с другим типом цифрового фильтра, известного как фильтр бесконечной импульсной характеристики или IIR. Импульсная характеристика стабильного IIR в принципе выдерживает все время, хотя все время уменьшается с увеличением времени. Структуры IIR отличаются от структуры FIR тем, что IIR используют обратную связь от выхода к вводу, тогда как FIR используют только методы прямой пересылки.

Теперь мы вернемся к дальнейшему анализу наших простых аналоговых и цифровых фильтров настоящего примера. В аналоговом случае комплексная частотная переменная равна S, а в установившемся состоянии S принимает значение jω = j2πf, где принципиальная переменная частоты сигнала может достигать бесконечного значения. В цифровом случае комплексная частотная переменная равна Z, где Z = eST и T - обратная частота дискретизации. В установившемся состоянии S снова j2πf, но рабочая частота может колебаться только до половины частоты дискретизации. За этим лимитирующим псевдонимом (aliasing) появляется его уродливая голова. Максимальная рабочая частота в практическом случае всегда удерживается ниже этого предела для процесса цифровой выборки. Если мы дадим fm представление максимальной рабочей частоты на пределе псевдонимов (aliasing limit), а f представляет переменную частоты сигнала, тогда можно написать:

Абсолютная величина экспоненциальной функции, представляющая Z, равна единице, не зависящей от рабочей частоты, и поэтому мнимая ось частоты плоскости S между -jfm и + jfm изогнута в круг радиуса единицы при отображении или картировании (mapping) в плоскость Z. Внутренняя часть этого круга содержит все содержимое левой половины S-плоскости между этими пределами частоты. Это картирование (mapping) отображается на рисунке 22-70.

Рисунок 22-70. Картирование (mapping) плоскости S в плоскость Z.

В описании частоты установившегося режима все точки, представляющие интерес, лежат на единичной окружности при S = ​​j2πf. При анализе полюса-нуля S = σ + j2πf и такие точки описываются в плоскости Z в терминах полярных координат r, θ. Эти координаты относятся к значениям в плоскости S, как показано в

Типичная точка показывается, как черная точка в плоскости S. Координаты этой конкретной точки S = ​​- (π/2T) + j(π/2T). Значение частоты этой точки в плоскости S соответствует fm/2, поэтому оно появится в плоскости Z с θ = π/2. Радиальное расстояние от начала координат будет r = e-π/2. Это соответствует радиальному расстоянию около 0,2. Поэтому плоская точка Z, соответствующая заданной S-плоскости, появляется в позиции, расположенной непосредственно над началом круга на расстоянии 0,2. Угол этого местоположения представляет собой угол между радиальной линией, нарисованной к точке и горизонтальной или вещественной оси, и является требуемым π/2. Приведенная S-плоскостная точка, таким образом, отображается в плоскость Z. Гребенчатый фильтр нашего аналогового и цифрового примеров представляет собой грубую форму фильтра нижних частот. Частотный отклик в цифровом случае получается путем подстановки S = ​​j2πf в уравнение 22-155. Амплитудный отклик определяется величиной полученного комплексного выражения, а фазовый отклик определяется углом комплексного выражения. После того, как была сделана замена для S, и к результату применена теорема Эйлера, выражение для передаточной функции становится:

При вычислении величины этого комплексного выражения с последующим некоторым упрощением амплитудный отклик появляется как:

Арктангенс отношения мнимой к реальной части передаточной функции дает фазовый отклик. Это выражение также можно упростить, чтобы:

Этот последний результат очень значителен, поскольку он указывает, что FIR-фильтры способны производить именно линейные фазовые отклики.

Общий FIR построен из цепочки сдвиговых регистров или выделенного пространства для чтения и записи вместе с набором множителей и сумматора или аккумулятора, как показано на рисунке 22-71. Передаточная функция для этого фильтра дается формулой:

В уравнении 22-160, N - количество отводов, находящихся в фильтре, количество независимых коэффициентов множителя, доступных для формирования поведения фильтра, и количество выборок, по которым сохраняется импульсная характеристика фильтра. Если N было бы равно трем, то передаточная функция была бы H (Z) = c0 + c1Z-1 + c2Z-2, и импульсная характеристика этого фильтра выдерживала бы всего 3 выборки. Для цифровых фильтров FIR часто требуются амплитудные отклики, которые имитируют стандартные аналоговые фильтры, такие как Баттерворт, Чебышев и т. д.

Один из способов достижения этого - настроить коэффициенты множителя фильтра таким образом, чтобы импульсная характеристика фильтра была дискретной временной моделью непрерывного импульсного отклика модели аналогового фильтра. Любая разумная степень точности при формировании импульсного отклика таким образом может потребовать структуру, имеющую большое количество ответвлений.

В качестве примера мы возьмем аналоговый фильтр нижних частот первого порядка как структуру, амплитудный отклик которой будет имитироваться КИХ-фильтром (FIR). В теории непрерывной во времени системы было изучено, что импульсная характеристика такого фильтра имеет временное поведение формы e-(t/τ), где τ - постоянная времени аналогового фильтра нижних частот. Импульсная характеристика согласовывается между непрерывной и дискретной областями времени, требуя, чтобы e-(t/τ) = e-(nT/τ), где n начинается с нуля и принимает последовательность положительных целых чисел. Коэффициенты множителей ответвлений для КИХ-фильтра (FIR) затем задаются формулой:

Рисунок 22-71. Структура FIR фильтра с N ответвлениями.

В уравнении 22-161 i начинается с нуля и берет последовательность положительных целых чисел до предела, заданного количеством ответвлений, используемых фильтром. Уравнение 22-161 теперь подставляется в формулу 22-160, чтобы получить выражение для вычисления желаемой передаточной функции.

То, что желательно в этой точке, является выражением замкнутой формы для передаточной функции, в которой число ответвлений N появляется явно как переменная. Это позволит использовать метод проб и ошибок для выбора наименьшего количества ответвлений, необходимых для получения желаемой степени точности производительности. Обозначая полное выражение в круглых скобках уравнения 22-162 символом х мы воспользуемся известным свойством степенных рядов. Когда абсолютная величина x равна или меньше единицы, тогда:

Применяя это, уравнение 22-162 можно записать как:

Дальнейшее исследование уравнения 22-164 дает:

В этот момент мы заменим x выражением в круглых скобках уравнения 22-162, для которого:

Наконец, напомним, что Z–1 = е–ST и при получении частотного отклика мы должны сделать замену х = j2πf. Амплитудный отклик фильтра получается путем взятия абсолютной величины уравнения 22-166 после этих замещений. Процедура на этом этапе должна взять пробное значение для N, рассчитать частотный отклик и сравнить его график с моделью аналогового фильтра. Затем процедура должна найти наименьшее значение N, которое дает удовлетворительные результаты. Время обработки в FIR и, следовательно, его латентность, прямо пропорционально N, поэтому премия ставится на небольшой N. Когда вышеуказанная процедура применяется при генерации фильтра FIR, который имитирует аналоговый фильтр низких частот первого порядка, обрезанный на 500 Гц, установлено, что для N = 100 получены хорошие результаты, как показано на рисунке 22-72.

При построении рисунка 22-72 передаточная функция FIR была нормализована так, чтобы она соответствовала аналоговому фильтру с нулевой частотой. Отклонение между аналоговыми и цифровыми частотными откликами происходит только вблизи предела Найквиста, который в этом случае составляет 20 кГц, поскольку частота дискретизации принималась равной 40 кГц. Техника проектирования, используемая в вышесказанном, не является уникальной. Она преследовалась здесь, поскольку она, пожалуй, самая интуитивная. Существуют еще более совершенные методы проектирования, как FIR-фильтров, так и IIR-фильтров. Автор нашел наиболее ценными те, которые доступны в Matlab.

Рисунок 22-72. Сравнение аналогового амплитудного отклика и цифрового амплитудного отклика FIR фильтра.

 






Дата добавления: 2022-05-07; просмотров: 14;


Поделитесь с друзьями:

Вы узнали что-то новое, можете расказать об этом друзьям через соц. сети.

Поиск по сайту:

Введите нужный запрос и Знаток покажет, что у него есть.
Znatock.org - 2022-2022 год. Для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь | Конфиденциальность
Генерация страницы за: 0.022 сек.