Рекурсивные или IIR-фильтры (БИХ)

В непрерывной временной области законы, управляющие системными операциями, формулируются в виде обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Соответствующая структура в дискретной временной области называется разностным уравнением. Познакомившись с этим, мы снова возьмем аналоговый фильтр нижних частот первого порядка в качестве нашей модели и реализуем его теперь с помощью структуры IIR. Аналоговый фильтр определяется дифференциальным уравнением первого порядка, предполагающим, что исходной точкой для соответствующего фильтра IIR будет уравнение разности первого порядка. Если {f(nT)} - последовательность входных сигналов, а {g(nT)} - последовательность выходных сигналов, тогда управляющее уравнение записывается следующим образом: a и b играют роли числовых констант.

Это уравнение реализуется структурой на рис. 22-73.

Рисунок 22-73. Внедрение схемы разностного уравнения первого порядка.

Передаточная функция схемы на рис. 22-73 определяется путем преобразования Z каждого члена в 22-167 и решением для отношения преобразования выхода, деленного на отношение входного сигнала. При этом следует напомнить, что Z-преобразование единичной задержки - это преобразование неопределенного члена, умноженного на Z-1, поэтому:

Передаточную функцию уравнения 22-168 можно сделать так, чтобы соответствовать фильтру нижних частот первого порядка с помощью подходящего выбора для констант a и b. Вместо того, чтобы сопоставлять импульсные отклики, как это было сделано в примере FIR (хотя это можно было бы сделать здесь), будет введен другой метод. В этой технике, расположения полюсов модели аналогового фильтра будут отображены в соответствующем местоположении в плоскости Z. Передаточная функция для модели аналогового фильтра может быть записана как 1 ⁄ (τS + 1). Полюса для передаточной функции находятся при S = −(1/τ) где τ-постоянная времени фильтра либо в RC или L ⁄ R, в зависимости от случая. В аналоговом случае этот полюс расположен на отрицательной вещественной оси в точке σ = - (1 / τ). Теперь заменяем Z = eσT на H(Z) и находим полюс, требуя, чтобы знаменатель был равен нулю. Затем решается полученное уравнение для константы b.

Теперь передаточная функция может быть записана как:

Наконец, в аналоговом случае амплитудный отклик равен единице при нулевой частоте. Когда это требуется от цифрового фильтра, окончательная форма передаточной функции становится:

Сравнение амплитудного поведения этого цифрового фильтра и его аналогового аналога представлено на рисунке 22-74. Частота дискретизации в этом случае равна 40 кГц. В результате амплитудные характеристики цифрового фильтра не соответствуют характеристикам аналогового сигнала, так как частота приближается к пределу псевдонимов (aliasing limit) 20 кГц. Производительность может быть улучшена в этом регионе за счет использования значительно более высокой частоты дискретизации.

На рисунке 22-74 содержится только часть истории. Нужно также сравнить фазовые отклики двух фильтров. Это сравнение представлено на рис. 22-75.

Хорошо известное минимальное фазовое поведение аналогового фильтра отображается на нижней кривой на рис. 22-75. Цифровой фильтр отслеживает это на низких частотах, но заметно расходится примерно выше 2 кГц. Более высокая частота дискретизации приведет к некоторому улучшению, но тем не менее, по-прежнему будет оставаться не минимальное поведение фазы. Ошибочное поведение фазы может быть исправлено за счет использования подходящих все пропускающих фильтров. Это, однако, потребует значительно большего количества аппаратных средств, а также проектных усилий. Существуют алгоритмы проектирования, которые развивают IIR-фильтры, которые одновременно соответствуют соответствующим аналоговым версиям как по амплитуде, так и по фазовым откликам. Эти алгоритмы основаны на использовании секций фильтра второго порядка.

Рисунок 22-74. Сравнение амплитудных откликов аналогово фильтра и фильтра БИХ (IIR).

Рисунок 22-75. Фильтр IIR и аналоговый фильтр, сравнение фазовых откликов.

Секция второго порядка может создавать секцию первого порядка через соответствующий выбор констант, а фильтры любого порядка могут быть получены путем каскадирования подходящих чисел секций второго порядка. Разностное уравнение второго порядка, определяющее структуру раздела второго порядка, можно записать в виде:

После принятия Z-преобразования, уравнение 22-172 можно решить для передаточной функции, чтобы получить:

Эта общая передаточная функция для секции второго порядка называется биквадом, так как она квадратична по Z как в числителе, так и в знаменателе. Общий биквад реализован на схеме, показанной на рисунке 22-76.

Рисунок 22-76. Аппаратная реализация общего биквада.

Теперь мы можем исправить ошибочное поведение фазы, встречающееся ранее в отношении фильтра нижних частот первого порядка. Процедура состоит в том, чтобы сопоставить полюс или полюса аналогового прототипа точно в плоскости Z. Поскольку фильтр нижних частот был первого порядка только с одним полюсом, то коэффициенты a2 и b2 в уравнении 22-173 установлены равными нулю. Поведение фазы корректируется путем помещения нуля в числитель, который отсутствует в аналоговом прототипе. Этот ноль находится на пределе псевдонимов (aliasing limit), чтобы иметь минимальное влияние на амплитудный отклик. Напомним, что амплитудный отклик был правильным в оригинальной простой конструкции. Этот шаг потребует, чтобы a0 и a1 были равны. Наконец, общее значение этих коэффициентов регулируется так, чтобы нормализовать амплитудный отклик цифрового фильтра так же, как и аналогового прототипа в полосе пропускания фильтра. Наконец, чтобы фильтр стал больше соответствовать реальной практике, мы теперь будем использовать частоту дискретизации 48 кГц. Передаточная функция для этого цифрового фильтра теперь становится:

Сравнительная эффективность этого улучшенного цифрового фильтра представлена ​​на рис. 22-77 и 22-78.

Фазовое поведение этого улучшенного дизайна является почти точной копией аналогового прототипа, в то время как амплитудная ошибка составляет не более 1 дБ при частоте экстремума 20 кГц. Затем этот фильтр обеспечивает требуемое минимальное фазовое поведение, имея лишь незначительную амплитудную ошибку на экстремальной частоте. В качестве последнего примера, в котором используется квадратичная структура биквада, используется полосовой фильтр. Мы рассмотрим полосовой фильтр с единичным усилением, имеющий ширину полосы в одну октаву, которая центрирована на 500 Гц. Передаточная функция такого фильтра с частотой дискретизации 48 кГц дается формулой:

Рисунок 22-77. Сравнение аналоговых и цифровых амплитуд для улучшенного IIR-фильтра.

Рисунок 22-78. Аналоговое и цифровое сравнение фаз для улучшенного IIR-фильтра.

Комплексные полюсы Z плоскости этого фильтра имеют места, соответствующие местоположениям аналогового прототипа. Однако есть два нуля. Один из них расположен в ω равной нулю, как в аналоговом случае, а второй, который корректирует фазовый отклик, находится на пределе псевдонимов (aliasing limit). Сравнительная характеристика IIR и его аналогового прототипа показана на рис. 22-79 и 22-80.

Изучение рисунков показывает, что амплитудная ошибка составляет не более 1 дБ при 20 кГц, тогда как фазовые кривые накладываются друг на друга почти точно.

Рисунок 22-79. Сравнение амплитуд аналоговых и цифровых фильтров для октавного полосового диапазона.

Рисунок 22-80. Аналоговое и цифровое сравнение фаз фильтра для октавного полосового диапазона.

Все проверенные аналоговые фильтры имеют точные цифровые версии IIR, которые могут быть реализованы за счет использования соответствующего количества секций второго порядка. Например, фильтр четвертого порядка Linkwitz-Riley потребовал бы каскада из двух таких разделов, каждый из которых был спроектирован так, чтобы соответствовать второму порядку Butterworth. Фильтры IIR используют обратную связь и, следовательно, могут быть неустойчивыми, если они не разработаны должным образом. Стабильные структуры фильтров в аналоговом мире требуют, чтобы все полюса лежали в левой половине плоскости S. Соответствующий критерий в плоскости Z состоит в том, что все полюса содержатся в единичном круге. Это не проблема с фильтрами FIR, так как эти фильтры не используют обратную связь.

 






Дата добавления: 2022-05-07; просмотров: 15;


Поделитесь с друзьями:

Вы узнали что-то новое, можете расказать об этом друзьям через соц. сети.

Поиск по сайту:

Введите нужный запрос и Знаток покажет, что у него есть.
Znatock.org - 2022-2022 год. Для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь | Конфиденциальность
Генерация страницы за: 0.02 сек.