Равносильность суждений

В логике очень часто встречаются высказывания, которые принимают одинаковые логические значения при одних и тех же значениях составляющих. Такие высказывания называются равносильными (эквивалентными).

Понятно, что все тождественно-истинные формулы (равно как и тождественно-ложные) равносильны друг другу. Поэтому проблема установления равносильности суждений существует только для нейтральных формул.

 

В качестве примера установим, равносильны ли суждения:

1. “На улице темно и сыро”;

2. “Неверно, что на улице не темно или не сыро”.

Для этого сначала формализуем их: 1. pÙq; 2. .

Составим таблицу истинности:

 

p q pÙq Ú
И И Л Л И Л И
Л И И Л Л И Л
И Л Л И Л И Л
Л Л И И Л И Л

 

Очевидно, что одинаковым наборам логических значений переменных p и q соответствуют одинаковые логические значения формул, следовательно, данные высказывания (и выражающие их формулы) равносильны.

При определении равносильности обычно пользуются сокращенными таблицами: pÙq =

И Л И Л

Л И Л Л

Л Л Л И

Л И Л И

Равносильность формул обозначается обычным знаком равенства, pÙq= . Неравносильность – перечеркнутым знаком равенства (≠).

Так, результаты о тождественной истинности формулы pÚ и тождественной ложности формулы pÙ можно записать следующим образом:

=Л.

 

Наличие равносильных формул позволяет заменять одни логические формулы другими, равносильными данным, то есть производить эквивалентные преобразования, заменяя, как в математике, равное равным. Это обстоятельство оказывается чрезвычайно важным, ибо, установив равносильность некоторых формул логики с помощью таблиц истинности, можно в дальнейшем к ним не обращаться, используя соответствующие эквивалентные преобразования (равную замену).

 

Например, импликация p ® q равносильна дизъюнкции Úq:

p q Úq p ® q
И И Л И И
Л И И И И
И Л Л Л Л
Л Л И И И

 



Эквиваленция p«q равносильна конъюнкции импликаций (p ® q)Ù( q ® p):

 

p q p®q q®p (p ® q)Ù( q ® p) p«q
И И И И И И
Л И И Л Л Л
И Л Л И Л Л
Л Л И И И И

Учитывая предыдущий результат о том, что импликация равносильна дизъюнкции (p®q = Úq), можно полученную равносильность записать следующим образом: p«q= (p ® q)Ù( q ® p)=( Úq)Ù( Úp).

 

Строгая дизъюнкция p Ú q эквивалентна формуле (pÚq)Ù( Ú ):

 

p q p Úq Ú (pÚq)Ù( Ú ) p Ú q
И И Л Л И Л Л Л
Л И И Л И И И И
И Л Л И И И И И
Л Л И И Л И Л Л

 






Дата добавления: 2018-02-08; просмотров: 242;


Поделитесь с друзьями:

Вы узнали что-то новое, можете расказать об этом друзьям через соц. сети.

Поиск по сайту:

Введите нужный запрос и Знаток покажет, что у него есть.
Znatock.org - Знаток.Орг - 2017-2019 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.005 сек.